Тождественно-истинные и тождественно-ложные суждения

Выше мы научились строить формулы, которые представляют структуру сложного суждения, но ничего не сказали о том, как определять истинность такого суждения. Опишем теперь метод построения таблиц истинности для произвольных формул, который позволит нам для каждого набора значений входящих в формулу простых суждений определять значение всей формулы в целом.

Таблица истинности будет содержать в себе столько строк, сколько можно различными способами придать значение И или Л всем простым суждениям данного сложного суждения. Например, если перед нами формула вида А ⇒ (В Ú Ø А), где А и В – простые суждения, то для них возможных вариантов придания им значений И и Л будет 4:

а для формулы (А ⇒Ø В) ⇎ С, где А, В и С – простые суждения, возможных вариантов придания им значений И и Л будет уже 8:

Очевидно, что количество таких исходных приданий значений простым составляющим сложного суждения зависит от количества таких простых составляющих: если их число есть n, то в таблице будет 2 ^п строк.

Для первой из приведённых формул попытаемся определить значение для каждого из придания значений ей составляющим. Будем действовать так. Выпишем отдельно все части формулы, которые сами имеют вид формулы и, руководствуясь семантикой логических союзов, определим сначала их значения, а затем, в последнем – результирующем столбце вычислим значение всей формулы. Получится таблица

Вычислить значения не сложно. Если в некоторой строке значение А есть И, то в этой же строке в значение Ø А будет Л, и наоборот. Зная в некоторой строке значение В и Ø А,не составит труда, руководствуясь семантикой Ú определить значение (В Ú Ø А). Теперь, привлекая семантику ⇒ можно для каждой строки вычислить и значение всей формулы, что даст нам последний столбец таблицы. Он говорит нам, при каких значениях А и В вся формула истинна, а при каких ложна.

Проделаем это и для второй формулы: (А ⇒ Ø В) ⇎ С. Получится следующая таблица, столбцы которой будут заполняться поочерёдно слева направо:

Снова в результирующем столбце мы видим, при каких значениях простых суждений формула истинна, а при каких ложна.

Табличная процедура может быть проведена для формулы любой конечной длинны, хотя недостаток её очевиден – при большом числе элементарных составляющих сложного суждения размеры таблицы будут чрезмерными.

Мы построили две таблицы истинности и в каждой из них в результирующем столбце стояло как значение И, так и значение Л. А существуют ли формулы, которые во всех строках своей таблицы истинности имеют значение И? Да, и называются они тождественно-истинными формулами или законами логики. Простой пример – формула А Ù Ø А:

представляющая закон исключённого третьего. Такой же результат мы получим в таблице истинности для формулы, представляющей закон противоречия – Ø(А Ù Ø А):

Существует счётно бесконечное количество тождественно-истинных формул, из которых нам интересны не все, хотя каждая из них – закон логики. Рассмотрим, например, формулу, утверждающую, что если нечто имеет место, то оно следует их чего угодно:

А ⇒ (В ⇒ А)

Таблица истинности для неё выглядит так:

А вот формула, которая утверждает, что из противоречия следует что угодно:

А ⇒ (Ø А ⇒ В)

Наряду с формулами, которые являются тождественно-истинными, существуют и тождественно-ложные, т. е. имеющие значение Л во всех строках результирующего столбца таблицы истинности. Получить тождественно-ложную формулу можно из любой тождественно-истинной, приписав к ней знак отрицания.

Тождественно истинные формулы или законы логики представляют большой интерес, а их формальное отличие от прочих формул состоит в том, что в результирующем столбце таблицы истинности нигде нет значения Л. Поэтому имеет смысл спросить, не существует ли способа, более эффективного, нежели построение таблицы истинности, определять, является ли данная формула тождественно-истинной. Такой способ существует и построен он на поиске контрпримера. В самом деле, стоит найти хотя бы одно придание значений элементарным составляющим формулы, при котором она становится ложной, и этого будет достаточно для того, чтобы сказать, что она не является тождественно-истинной. Соответствующий метод этот носит название метода аналитических (семантических) таблиц.