Интерпретация модальностей сложнее, нежели интерпретация простых категорических сужений и сложных суждений. Говоря о том, что что-то действительно, мы просто констатируем, что что-то имеет место, т. е. сопоставляем выражение и реальность. Но когда заходит речь о необходимости или возможности, ясно, что подразумевается выход за пределы действительного. Говоря, «возможно, что Обама не был бы избран президентом США», мы подразумеваем не действительную, а гипотетическую ситуацию, альтернативную действительной. При этом, однако, эта гипотетическая ситуация логически возможна, т. е. её можно мыслить, не получая противоречий.
Ещё Лейбница это навело на мысль о существовании истин двух видов. Истинами факта Лейбниц назвал такие истинные суждения, которые являются истинными при одних обстоятельствах, но ложными при других – хотя бы и гипотетических. Например, то, что Москва – столица России – это истина факта, поскольку ничто не делает невозможной ситуацию, в которой это не так, и где столицей России является, скажем, Екатеринбург Точно так же истиной факта является с точки зрения логики смертность человека ведь бессмертие логически возможно, хотя и невозможно физически. Истинами разума, напротив, являются такие сужения, которые истинны всегда, везде и при любых обстоятельствах. Нетрудно заметить, что к числу истин разума относятся законы логики, а также законы математики – точной науки, описывающей реальность, для которой нет мыслимой (возможной) альтернативы, ведь не сочтём же возможной реальность, где 4 ¹ 2+2, а параллельные прямые пересекаются.
Общая идея семантики модальных суждений такова: □ А истинно тогда и только тогда, когда А истинно во всех возможных ситуациях, а ◊ А истинно тогда и только тогда, когда найдётся хотя бы одна ситуация, в которой истинно А. Выразим это теперь более точно.
Семантику модальной логики называют семантикой возможных миров, и её идея восходит к кратко описанной выше концепции Лейбница о различении истин разума и истин факта. В семантике возможных миров понятие возможности представлено как отношение между мирами. Что понимается под возможным миром? Будем считать, что возможный мир х – это не влекущая противоречий совокупность фактов. В её основе находится некоторое множество атомарных фактов, т. е. таких, которые могут быть выражены простыми суждениями. Отличие такого описания возможного мира от естественного употребления простых суждений состоит в том, что в естественном языке многие предложения связан друг с другом. Так, если истинно, что Маша хорошо учится, то истинно и то, что среди оценок Маши почти нет плохих. Точно так же, если верно, что 2 + 7 = 9, то не может не быть верным, что 9 – 7 = 2. Для атомарных фактов в логике это не так, и любые два атомарных факта независимы друг от друга, поэтому всякий набор атомарных фактов, задаёт возможный мир.
Суждения вида □ А и ◊ А не выражают атомарных фактов некоторого мира, но могут быть относительно него истинными или ложными, в зависимости от того, с какими мирами данный мир связан отношением достижимости – возможности или альтернативности R. Поясним это отношение.
Формулы, содержащие модальности, описывают некоторые положения дел в мирах, связанных с данным миром отношением R. Что значит быть достижимым или возможным для мира х? Находятся ли в этом отношении любые два мира х и у? Существуют ли миры, для которых ничто не является возможным? Рассмотрим несколько примеров употребления слова «возможно» в естественном языке.
При подбрасывании монеты выпадает «орел» или «решка». И то, и другое
возможно.
Здесь «возможно» означает, что из мира, в котором мы подбросили монету, можно с течением времени перейти в один из миров – либо в тот, где выпал «орел», либо в тот, где выпала «решка». Эти два мира рассматриваются как достижимые с точки зрения наблюдателя некоторого физического процесса.
Другой пример:
Невозможный исход подбрасывания монеты – это когда она приземлилась
и устояла на ребре.
«Невозможно» означает, что некоторые миры признаются недостижимыми из данного, а именно такие, в которых монета приземлилась на ребро и осталась в таком положении. Интерпретация «невозможного» связана с интерпретацией «возможного», и в данном случае «возможно» означает «возможно с точки зрения обыденного опыта», поскольку физически описанная ситуация с монетой как раз не невозможна. Истинность или ложность приведенной фразы зависит от того, в каком смысле понимается отношение возможности.
В конце этого эксперимента температура испытываемого образца каждый
раз разная: 25, 14, 38, 136, 75,..., но никогда не больше 250. Скорее всего
результат 500 невозможен.
Здесь трактовка отношения возможности включает в себя несколько моментов. Во-первых, «возможно» – это «то, что уже однажды имело место в прошлом», так что достижимым считается всякий мир, в котором результат эксперимента повторяет уже однажды бывший. Кроме того, «невозможно» включает в себя вероятностную оценку и индуктивное обобщение, которые подразумевают наличие некоторого общего закона, предопределяющего результаты эксперимента и их допустимые колебания. Таким образом, в этом примере «возможно» означает «возможно в силу законов природы, обнаруживаемых индуктивно».
В отдаленных районах Гималаев водятся кентавры. Я сам их видел, они
светло-коричневого окраса и дружелюбны. Но все говорят, что это
невозможно.
Слово «невозможно» в данном контексте означает «речь идет об объекте, которого нет и не может быть среди реально существующих». Иными словами, мир, содержащий такие объекты, признается недостижимым для нашего исходя из некоторых представлений о законах природы. Хотя существование кентавров логически возможно[23], оно признаётся невозможным потому, что их существование достоверно не подтверждено и современное состояние науки не даёт ответа на вопрос, как может существовать кентавр в биологическом смысле. «Возможно» здесь то, что утверждается о «реальных» (общепризнанных) или теоретически «признаваемых» объектах.
Невозможно, чтобы слон хорошо набирал текст с помощью клавиатуры
компьютера.
Характеристика «невозможно» появляется здесь не в связи с особенностями слона как громоздкого животного, а апеллирует к существенным признакам слона. Реализовать модификацию этих признаков и сделать слона другим может только мир, недостижимый из данного. Таким образом, смысл слова «возможно» может включать в себя подразделение свойств объектов на существенные и привходящие.
В будущем возможно будет продлить человеческую жизнь до 150 лет.
В этом примере «возможно» имеет троякий смысл. Подразумевается, во-первых, что уже сейчас относительно свойств человеческого организма известно, что люди будут в состоянии прожить указанное количество лет, во-вторых, что уже сейчас с точки зрения современного состояния знаний можно оценить их будущее состояние, т. е. предполагается наличие некоторого известного закона развития науки, в-третьих, что в будущем в какой-то момент найдется, по крайней мере, один человек, доживший до указанного возраста.
Определение истинности для модальных суждений дадим в следующем виде. Пусть даны множество возможных миров W, и отношение достижимости между мирами этого множества R, Тогда:
□ А истинно в мире х Î W тогда и только тогда, когда А истинно в любом мире
у Î W, таком что х R у;
◊ А истинно в мире х Î W тогда и только тогда, когда существует такой мир у Î W,
что х R у и А истинно в у.
Мы помним, что одна из задач логики состоит в обнаружение логических законов, т. е. формул, истинных при любых семантических условиях. В теории сложных суждений это были тождественно-истинные формулы, а в модальной логике такие формулы называются универсально общезначимыми. Они истинны во всех возможных мирах при любых дополнительных условиях. Некоторые универсально общезначимые формулы модальной логики представлены ниже:
А, если А – тождественно-истинная формула логики высказываний;
□ А, если А – универсально общезначимая формула;
(□ А ⇔ Ø◊Ø А) – определение □ через ◊;
(◊ А ⇔ Ø□Ø А) – определение ◊ через □;
(Ø□ А ⇔ ◊Ø А) – отрицание □;
(Ø◊ А ⇔ □Ø А) – отрицание ◊;
□(А ⇒ В) ⇒ (□ А ⇒ □ В) – формула, показывающая отношения □ и ⇒;
□(А Ù В) ⇔ (□ А Ù □ В) – отношения □ и Ù;
◊(А Ú В) ⇔ (◊ А Ú ◊ В) – отношения ◊ и Ú;
à(А ⇒ В) ⇔ (□ А ⇒ ◊ В) – отношения □, ◊ и ⇒