элементарная теория не могла объяснить эффекта расщепления энергетических уровней атома водорода в магнитном поле. Зоммерфельд предположил, что движение электрона в атоме происходит не по круговой, а по эллиптической орбите и характеризуется двумя обобщенными координатами qr и qj.
Кинетическая энергия в этом случае оказывается равной сумме кинетических энергий радиального и азимутального движений (1). Квантованию подлежат «действия» — интегралы от обобщенных импульсов (2) по канонически сопряженным им обобщенным координатам (3).
В рамках такого подхода оказывается, что энергия электрона в Кулоновском поле зависит от суммы двух квантовых чисел и, следовательно, может принимать вырожденные значения (одному значению энергии соответствуют различные типы движения). Наложение внешних возмущений снимает вырождение, т. е. расщепляет энергетические уровни атома. В свою очередь это приводит к расщеплению спектральных линий. (1) 
Кинетическая энергия электрона на эллиптической орбите.
(2) Определение обобщенного импульса
(3) Правила квантования Бора-Зоммерфельда. 
пространственное квантование орбит Из представлений классической физики следует, что орбитальный момент импульса электрона Le и пропорциональный ему магнитный момент Pm 
ориентированы перпендикулярно плоскости орбиты электрона и противоположно направлены. Между Le и Pm существует связь:,
(1)
где γ = e/2me – орбитальное гиромагнитное отношение. Такая связь векторов сохраняется и в теории Бора.
В квантовой механике, естественно, не может быть указана ориентация L и Pm относительно плоскости электронной орбиты (орбиты, в буквальном смысле этого слова, нет).
|
|
Для указанной ориентации L и Pm должно быть выбрано некоторое направление в пространстве, и расположение L может быть задано углом между вектором L и этим направлением. За указанное направление выбирается либо направление внешнего магнитного поля H, либо внутреннего, создаваемого всеми электронами, кроме рассматриваемого. Как правило, берут направление внешнего магнитного поля, совмещенного с осью z.
В квантовой механике строго доказывается, что проекция (Lz) вектора L на направление внешнего магнитного поля z может принимать лишь целочисленные значения, кратные ħ: Lz. = m ħ Здесь m = 0, ±1, ±2,…±l – магнитное квантовое число,l – орбитальное квантовое число, определяющее модуль вектора L.
Т.к. проекция не может быть больше модуля вектора, то 
. Отсюда следует, что максимальное значение |m| = l. Итак, m может принимать (2l+ 1) значений (l = 0 дает одно «лишнее» значение), т.е. L может принимать (2l+ 1) ориентаций в пространстве.
На рис. показаны возможные ориентации вектора L в состояниях s, p, d. 
Таким образом, пространственное квантование приводит к «расщеплению» энергетических уровней на ряд подуровней.
Спектральные серии водорода — набор спектральных серий, составляющих спектр атома водорода. Поскольку водород — наиболее простой атом, его спектральные серии наиболее хорошо изучены. Они хорошо подчиняются формуле Ридберга:
1 λ = R (1 n ′ 2 − 1 n 2) {\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{{n'}^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}
где R = 109 677 см−1 — постоянная Ридберга для водорода, n′ — основной уровень серии.