Построение проекций точек, принадлежащих поверхности геометрических тел.

Чтобы построить проекции точки, принадлежащей поверхности геометрического тела, необходимо предварительно по поверхности провести какую-либо линию, а затем на соответствующих проекциях линии отметить проекции точки. По плоскости проводят прямую линию, а по поверхности вращения – или одну из их образующих (линий, которые при своем движении образуют плоскость), или окружность (параллель).

Призма – это многогранник, у которого боковые грани – прямоугольники или параллелограммы, а основаниями служат два равных многоугольника.

На поверхности боковых граней четырехугольной призмы (рис. 1) изображены две точки A и B, заданные фронтальными проекциями. Так как боковые грани расположены в горизонтально проецирующих плоскостях, то на горизонтальную плоскость точки проецируется на линию, в которую вырождается проекция соответствующей грани. Эти грани являются также и профильно-проецирующими. Профильные проекции точек строятся по двум ранее построенным. Построение проекций точек, расположенных на боковых гранях любой другой призмы аналогично.

Пирамида – это многогранник, у которого боковые грани представляют собой треугольники, имеющие общую вершину. В основании у пирамиды – многоугольник. При построении проекций точки, принадлежащей поверхности пирамиды можно использовать два способа, описанные ниже. На рис. 2, а дан чертеж правильной пятиугольной пирамиды. На боковой поверхности пирамиды лежит точка A, заданная фронтальной проекцией A₂. Поскольку грань пирамиды расположена наклонно ко всем плоскостям проекций (плоскость общего положения), то для определения других проекций используют вспомогательную линию, проведенную через данную точку и вершину пирамиды S. Фронтальную проекцию этой прямой проводят через фронтальную проекцию вершины пирамиды S₂ и заданную проекцию точки A₂ до встречи с проекцией ребра основания в точке M₂. Определив горизонтальную проекцию точки M, проводят прямую через горизонтальные проекции точек M и S. Точка A₁ должна лежать на соответствующей прямой S₁M₁ и на перпендикуляре к оси x, проведенном через известную проекцию точки (A₂). Профильная проекция точки строится по двум другим проекциям.

Точка B строится с помощью профильной проекции.

На рис. 2, б используется фронтально-проецирующая секущая плоскость, параллельная основанию, которая проходит через точку A₂. В горизонтальной проекции строится линия пересечения плоскости с пирамидой. В месте пересечения этой линии с перпендикуляром к оси x, опущенным из точки A₂, и находится горизонтальная проекция точки A.

Цилиндр – это тело вращения, боковая поверхность которого образована вращением вокруг оси цилиндра отрезка, параллельного этой оси. Основания цилиндра – круги.

Проекции точки, принадлежащие боковой поверхности цилиндра, строятся по аналогии

с рис. 1. На рис. 3 на чертеже цилиндра задана фронтальная проекция точки – А₂.

Конус – это тело вращения, боковая поверхность которого образована вращением отрезка прямой вокруг оси. Образующая пересекается с осью вращения в точке, которая называется вершиной конуса. Основание конуса – круг.

Чтобы построить горизонтальную проекцию точки A, через фронтальную проекцию вершины конуса и точку A₂ проводят проекцию образующей, находят ее горизонтальную проекцию и на ней отмечают искомую горизонтальную проекцию точки A (рис. 4, а).

Та же задача на рис. 4, б решена с помощью параллели, построенной на поверхности конуса. Сначала через A₂ проводят фронтальную проекцию окружности: она проецируется в отрезок прямой, параллельной проекции основания конуса. На горизонтальную плоскость проекций указанная окружность проецируется без искажения; на ней будет лежать горизонтальная проекция точки A.

Шар – это тело вращение, поверхность которого образована вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности и проходящей через ее центр. В ортогональных проекциях все три проекции шара – круги.

При построении проекций точки, лежащей на поверхности шара по одной заданной ее проекции, сначала проводят через данную точку вспомогательную окружность, плоскость которой параллельна одной из плоскостей проекции. На рис. 5 эта окружность расположена в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций. Две другие проекции точки лежат на перпендикулярах к осям, разделяющим проекции и на соответствующих проекциях окружности.

Контрольные вопросы

1. Каков алгоритм построения проекций точки?

2. Перечислите элементы поверхности предмета.

3. Классификация геометрических тел.