Основные методы решения иррациональных уравнений.

1 метод: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

2 метод: замена переменной.

3 метод: умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию.

4 метод: применение свойств функций, входящих в уравнение.

Чаще всего при решении иррациональных уравнений применяют 1метод, то есть обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного. Следует не забывать, что уравнение-следствие наряду с корнями исходного уравнения может содержать и другие корни, которые называются посторонними. Поэтому после решения уравнения-следствия необходимо найти способ отсеять посторонние корни. Обычно это можно сделать при помощи проверки, которая в данном случае рассматривается как один из этапов решения.

Напомним, что при возведении обеих частей уравнения в чётную натуральную степень может получиться уравнение, не равносильное данному.

1 )Решим уравнение .

Решение. Возведём в квадрат обе части уравнения . Получим уравнение .

Обратите внимание: второе уравнение не равносильно исходному, так как первое уравнение имеет только один корень — , а второе — два корня – и .

В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения. Отметим, что второй корень является посторонним для исходного уравнения, так как при подставновке его в исходное уравнение получим неверное равенство.

Как видим, при возведении иррационального уравнения в натуральную степень могут появиться посторонние корни, поэтому проверка обязательна.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать основные свойства иррациональных уравнений:

1. Если показатель радикала – чётное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным, при этом значение радикала также является неотрицательным. Проще говоря, все корни чётной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, то есть если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишён смысла; если подкоренное выражение равно 0, то корень также равен 0; если подкоренное выражение положительно, то значение корня – положительно.

2. Если показатель радикала – нечётное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом. В этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения. Говоря другими словами, все корни нечётной степени, входящие в уравнение определены при любом действительном значении подкоренного выражения и в зависимости от знака подкоренного выражения могут принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения.

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

2) Решите уравнение .

Решение. Отметим, что при уравнение не имеет корней, так как правая часть нашего уравнения будет принимать отрицательные значения. А мы знаем, что значение корня не может быть отрицательным числом. Значит, нам будут подходить только корни больше либо равные 3.

Итак, возведём в квадрат обе части уравнения . Получим равносильное уравнение .

Перенесём все слагаемые из правой части уравнения в левую . Получим уравнение .

Теперь вынесем общий множитель х за скобки. Получим уравнение . В скобках квадратный многочлен разложим на множители.

Имеем .

Чтобы данное уравнение равнялось 0, нужно чтобы хотя бы один из множителей равнялся 0.

Отсюда полученное уравнение имеет корни , , .

Вначале решения мы с вами оговаривали, что корни меньше –3 нам не подходят. Проверим, подходят ли корни и . Подставим их в исходное уравнение. При левая часть исходного уравнения равна , а правая – 3. Имеем верное равенство. Значит, является корнем уравнения. При левая часть исходного уравнения равна , правая – 4. Тоже имеем верное равенство.