Отделения «Математическое обеспечение и администрирование
- Этапы решения задачи методом математического моделирования. Использование компьютера как инструмента решения задач моделирования.
- Численные методы как раздел вычислительной математики. Предмет и метод вычислительной математики. Основные задачи численных методов.
- Корректность задачи вычислительной математики. Обусловленность задачи вычислительной математики. Плохо обусловленная задача. Примеры.
- Корректность метода вычислительной математики. Устойчивость численного метода решения математической задачи. Неустойчивый метод. Примеры.
- Расстояние, метрическое пространство. Примеры метрических пространств.
- Норма, нормированное пространство. Примеры нормированных пространств.
- Структура погрешности при решении задач методом математического моделирования. Примеры. Погрешность. Абсолютная погрешность. Относительная погрешность. Пример (за исключением множества действительных чисел).
- Погрешность арифметических действий над вещественными числами. Прямая и обратная задачи теории погрешностей (на множестве действительных чисел).
- Представление чисел в памяти компьютера. Представление вещественных чисел в памяти компьютера в соответствии со стандартом IEEE-754. Основные числовые характеристики системы вещественных чисел конечной разрядности.
- Основные числовые характеристики системы вещественных чисел конечной разрядности. Выполнение арифметических операций над вещественными числами с плавающей точкой. Алгебраические особенности системы чисел конечной точности. Примеры.
- Основные алгебраические задачи, решаемые численными методами. Классификация численных методов решения алгебраических задач. Метод Крамера решения СЛАУ и его трудоемкость. Вектор невязки. Итерационное уточнение приближенного решения полученного прямыми методами.
- Метод Гаусса решения СЛАУ и его применение к вычислению определителя матрицы и нахождению обратной матрицы.
- Метод LU-разложения решения СЛАУ.
- Метод квадратных корней решения СЛАУ.
- Метод прогонки решения СЛАУ.
- Число обусловленности матрицы. Свойства числа обусловленности. Оценка погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений по погрешностям входных данных.
- Метод простой итерации решения СЛАУ. Необходимое и достаточное условие сходимости метода простой итерации. Достаточное условие сходимости метода простой итерации. Условие окончания итерационного процесса.
- Метод Якоби решения СЛАУ. Необходимое и достаточное условие сходимости метода Якоби. Достаточное условие сходимости метода Якоби. Условие окончания итерационного процесса в методе Якоби.
- Метод Зейделя решения СЛАУ. Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя. Достаточное условие сходимости метода Зейделя.
- Постановка задачи решения нелинейного уравнения, геометрическая интерпретация. Этапы численного решения нелинейного уравнения. Метод половинного деления для решения нелинейного уравнения с одним неизвестных. Оценка погрешности и критерий окончания итерационного процесса.
- Метод хорд для решения нелинейного уравнения с одним неизвестным. Геометрическая интерпретация метода. Оценка погрешности и критерий окончания итерационного процесса.
- Метод касательных для решения нелинейного уравнения с одним неизвестным. Геометрическая интерпретация метода. Оценка погрешности и критерий окончания итерационного процесса.
- Комбинированный метод для решения нелинейного уравнения с одним неизвестным. Геометрическая интерпретация метода. Оценка погрешности и критерий окончания итерационного процесса.
- Метод простой итерации для решения нелинейного уравнения с одним неизвестным. Теорема о достаточном условии сходимости метода простой итерации решения нелинейного уравнения. Геометрические интерпретации сходящейся итерационной последовательности.
- Достаточное условие расходимости метода простой итерации решения нелинейного уравнения. Геометрические интерпретации расходящейся итерационной последовательности. Оценка погрешности и критерий окончания итерационного процесса.
- Постановка задачи решения систем нелинейных уравнений. Метод простой итерации решения систем нелинейных уравнений. Достаточное условие сходимости метода простой итерации.
- Постановка задачи решения систем нелинейных уравнений. Метод Зейделя решения систем нелинейных уравнений.
- Аппроксимация функций. Кусочно-линейная интерполяция. Геометрическая интерпретация. Задачи экстраполирования и обратного интерполирования.
- Аппроксимация функций. Полиномиальное интерполирование. Доказательство единственности интерполяционного полинома n-ой степени, построенного по n+1 узлу интерполяции. Построение полинома в форме Лагранжа.
- Аппроксимация функций. Интерполяция сплайнами.
- Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов. Приближение в линейном виде. Геометрическая интерпретация.
- Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов. Приближение в нелинейном виде. Геометрическая интерпретация.
- Численное интегрирование. Метод левых и центральных прямоугольников. Геометрическая интерпретация метода. Оценка погрешности.
- Численное интегрирование. Метод правых и центральных прямоугольников. Геометрическая интерпретация метода. Оценка погрешности.
- Численное интегрирование. Метод трапеций. Геометрическая интерпретация метода. Оценка погрешности.
- Численное интегрирование. Метод Симпсона. Геометрическая интерпретация метода. Оценка погрешности.
- Численное интегрирование. Метод Гаусса. Геометрическая интерпретация метода. Оценка погрешности.
- Метод Эйлера для решения задачи Коши. Геометрическая интерпретация метода.
- Модифицированный метод Эйлера для решения задачи Коши. Геометрическая интерпретация метода.
- Метод Эйлера-Коши для решения задачи Коши. Геометрическая интерпретация метода.
- Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши.
- Методы решения систем дифференциальных уравнений.
- Методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка.