Комбинированное занятие № 26.. Актуальность темы.

Комбинированное занятие № 26.

Тема. Тригонометрические функции у=tg x, y=ctg x, их свойства и графики.

Актуальность темы.

В рамках изучаемой темы рассматриваются основные свойства тригонометрических функций и их графики, связь данных функций с медициной и другими областями знаний, подчеркивается важность данной темы. В ходе освоения темы "Тригонометрические функции, их свойства и графики" студенты осознают роль математики и тригонометрии в медицине, а именно по расшифровке кардиограммы сердца, учатся высчитывать ЧСС (частоту сердечных сокращений), распознавать синусовый ритм (нормальный, тахикардия, брадикардия).

При изучении данной темы прослеживается связь с медициной, биологией, анатомией, что безусловно вызывает мотивацию у студентов к изучению данной темы, и позволяет в дальнейшем углубить знания по предмету.

В процессе изучения темы "Тригонометрические функции, их свойства и графики" студенты смогут в реальной жизни и в своей профессиональной деятельности определять по кардиограмме сердца ЧСС и делать заключение о характере синусового ритма.

Цель урока:

Образовательные: рассмотреть графики и свойства функций

у= tg х, у = ctg х.

Развивающие: Продолжить формирование умений и навыков по построению графиков, применяя зависимость y от x.

Воспитательные: Воспитывать аккуратность, целеустремленность, дисциплинированность..

План занятия.

1. Актуализация знаний.

2. Изучение нового материала.

 

3. Закрепление изученного материала с помощью упражнений.

 

4. Домашнее задание. Самостоятельная работа

 

 

Ход урока.

Актуализация знаний.

Заполните таблицу (Заполняем зеленым цветом пропуски):

0°	30°		60°		180°		360°
					-		-
	-					-		-

Изучение нового материала.

Рассмотрим две оставшиеся тригонометрические функции - тангенс и котангенс .(в тетради нарисовать графики тангенса и котангенса)

1. Функция у = tg x

Остановимся на графиках функций тангенса и котангенса. Сначала обсудим построение графика функции у = tg х на промежутке Такое построение аналогично построению графика функции у = sin х, описанному ранее. При этом значение функции тангенса в точке находится с помощью линии тангенсов (см. рисунок).

 

 

Учитывая периодичность функции тангенса, получаем ее график на всей области определения параллельными переносами вдоль оси абсцисс (вправо и влево) уже построенного графика на π, 2π и т. д. График функции тангенса называют тангенсоидой.

Приведем основные свойства функции у = tg х:

1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида

2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = -y(x)), и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция возрастает на промежутках вида где к ∈ Z.

4. Функция не ограничена.

5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = π, т. е. у(х + пk) = у(х).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты

 

Пример 1

Установим четность или нечетность функции:

Легко проверить, что для функций а, б область определения - симметричное множество. Исследуем эти функции на четность или нечетность. Для этого найдем у(-х) и сравним значения у(х) и y(-x).

а)

Получим: Так как выполнено равенство y(-x) = у(х), то функция у(х) по определению четная.

б)

Имеем:

Так как выполнено равенство y(-x) = -у(х), то функция у(х) по определению нечетная.

в) Область определения данной функции - несимметричное множество. Например, функция определена в точке х = π/4 и не определена в симметричной точке х = -π/4. Поэтому данная функция определенной четности не имеет.

Пример 2

Найдем основной период функции

Данная функция у(х) представляет собой алгебраическую сумму трех тригонометрических функций, периоды которых равны: T1 = 2π,

Запишем эти числа в виде дробей с одинаковыми знаменателями Наименьшее общее кратное коэффициентов НОК (6; 2; 3). Поэтому основной период данной функции

 

2. Функция у = ctg x

Аналогично графику функции у = tg х или с помощью формулы приведения строится график функции у = ctg x.

 

Перечислим основные свойства функции у = ctg x:

1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида х = пk, к ∈ Z.

2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = -y(x)), и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция убывает на промежутках вида (пk; п + пk), к ∈ Z.

4. Функция не ограничена.

5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = п, т. е. у(х + пk) = у(x).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты х = пk.

Домашнее задание:

посмотреть ОБЯЗАТЕЛЬНО видеоурок: https://youtu.be/zSJKqieSFUM

Прочитать учебник стр.217 п.42, разобрать примеры из данных параграфов. сделать опорный конспект (Построить в тетради графики функций, заполнить таблицу).

Подотовиться к контрольной работе по теме «Функции и их графики»

1.Нахождение значений функции по формуле.

2.Нахождение области определения функции.

3.Нахождение нулей функции.

4.Построение графиков(показательной, логарифмической и тригонометрических функций)

5.Нахождение по графику -области определения, множества значений функции.

Самостоятельная работа по изученной теме:

1. Заполните таблицу (Заполняем зеленым цветом пропуски):

 

	Свойства функции		y =
	Область определения
	Область значений
	Монотонность
	Непрерывность
	Периодичность
	Чётность
	Наибольшее значение ф–ии
	Наименьшее значение ф-ии

 

1. График какой функции изображен на рисунке?

а)	б)
в)	г)

 

1. График какой из тригонометрических функций называется синусоидой?

Ответ:_______________

1. Какие из тригонометрических функций являются нечетными?
   Ответ:_______________
2. Назовите период функции ?

Ответ:_______________

1. Укажите промежутки возрастания и убывания функции ?

Ответ:_______________

1. На каком из рисунков изображен график функции ?

8. Найдите область определения функции у = 2sin 3x.

 

9. Определить, является ли данная функция четной или нечетной:

у = 3х² – cos x.

10. Доказать, что данная функция у = 2cos 2x. является периодической с периодом Т = p.

 

Список используемой литература:

Алимов Ш.А.-Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2016. - 336 с.