Занятие № 1
Комплексные числа.
Необходимые сведения.
I. Комплексным числом 
называется пара действительных чисел 
. Для комплексных чисел определено понятие равенства, сложения, умножения. Комплексные числа не сравниваются! Два комплексных числа 
и 
равны тогда и только тогда, когда 
. Суммой двух комплексных чисел называется комплексное число 
. Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число 
. Комплексное число (0,1) называется мнимой единицей и обозначается символом 
. Это число обладает свойством 
. Обычно комплексное число записывают в форме z=x+iy. Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа, причём 
называется действительной частью и обозначается символом 
, а 
называется мнимой частью и обозначается символом 
. Комплексное число 
называется сопряжённым комплексному числу 
и обозначается символом 
.Действительное положительное число 
называется модулем комплексного числа и обозначается символом 
.
II. Комплексные числа можно изображать на плоскости.Каждое число z=x+iy отождествляется с точкой плоскости с координатами . Действительные числа отмечаются на оси абсцисс, поэтому её называют действительной осью, а чисто мнимые числа отмечаются на оси ординат, поэтому её называют мнимой осью. Комплексное число 
изображается также вектором с началом в точке 0 и концом в точке . Модуль комплексного числа имеет смысл длины этого вектора. Угол наклона вектора к положительному направлению действительной оси называется главным значением аргумента, он обозначается символом 
III. Любое комплексное число можно записать в виде 
, где 
- модуль, а 
– аргумент комплексного числа. Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Комплексные числа 
и 
можно обозначить символами 
и 
соответственно. Комбинируя эти формулы, можно получить формулы Эйлера:
, 
,
Используя сокращённое обозначение, можно записать комплексное число в виде: 
Такая форма называется показательной формой записи комплексного числа.
IV. Уравнение 
с натуральным 
имеет ровно корней (с учётом кратности). Если
положить 
, то корни вычисляются по формуле:
, 
, являющейся аналогом формулы Муавра для
возведения в степень:
ТФКП 2 курс 4-ый семестр.
Задачи для решения в аудитории и домашнее задание.
- Проделать алгебраические действия с комплексными числами:
а) 
б) 
в) 
- Вычислить:
, если 
- Доказать формулу деления двух комплексных чисел
и 
:
- Вычислить
: 
, 
, 
, 
, 
, 
. - Вычислить :
, 
, 
, 
, 
- Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел:
- Найти комплексно-сопряжённое число ко всем комплексным числам из задачи 6.
- Найти модуль всех комплексным числам из задачи 6.
- Найти модуль следующих комплексных чисел ( - действительное число):
; ; 
; 
; 
;
.
- Используя алгебраическую форму комплексного числа, доказать формулы:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
з) 
- Доказать формулы:
а) 
б) 
в) 
г) 
.
- Решить уравнения относительно z:
а) 
б) 
в) 
г) 
13. Указать на комплексной плоскости следующие числа, отметить их модуль и аргумент:
14. Нарисовать множества точек комплексной плоскости, которые удовлетворяют следующим
условиям (
- комплексное число, 
- действительные числа)
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
з) 
и) 
к) 
л) 
м) 