Рассмотрим еще один частный случай сложного нагружения. Пусть прямой брус произвольного поперечного сечения нагружен силой Р, параллельной продольной оси бруса, но точка ее приложения смещена относительно центра тяжести сечения (рис. 12.3а). Такой случай нагружения называют внецентренным растяжением или сжатием в зависимости от направления действия силы. Определяя внутренние силовые факторы методом сечений, находим, что в любом сечении будут действовать три внутренних силовых фактора: продольная сила N=P; изгибающие моменты Mx=Py0 и My=Px0 (рис. 12.3б), т.е. имеет место суперпозиция центрального растяжения и чистого изгиба в двух главных плоскостях.
| О |
| x0 |
| y0 |
| А |
| Р |
| О |
| б) |
| x |
| Мy=Px0 |
| y |
| N=Р |
| y |
| x |
| Мx=Py0 |
| а) |
Рис. 12.3. Внецентренное растяжение бруса
Напряжения в произвольной точке сечения с координатами (x, y) на основании принципа независимости действия сил можно вычислить следующим образом (сумма алгебраическая)
(12.4)
Их уравнения (12.4) следует, что эпюра напряжений в рассматриваемом сечении образует плоскость. Уравнение нейтральной линии, в точках которой нормальные напряжения равны нулю, получим из (12.4), приравняв выражение нулю, т.е.
(12.5)
Из полученного уравнения следует, что нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения, который совпадает с началом координат. Кроме того, если координаты точки приложения силы (x0, y0) положительны, то по крайней мере одна из координат x или y уравнения (12.4) должна быть отрицательной и следовательно, если точка приложения силы находится в первом квадранте, то нейтральная линия должна проходить через квадранты 2,3 и 4 (рис. 12.4).
Известно (аналитическая геометрия), что если прямая задана уравнением вида
то расстояние от начала координат до прямой будет равно
В рассматриваемом случае (12.5) получаем (рис. 12.4)
(12.5а)
Из полученного выражения следует, что при приближении точки приложения силы Р к центру тяжести сечения, т.е. при уменьшении значения координат x0, y0, расстояние ρ от центра тяжести сечения до нейтральной линии увеличивается.
| σD |
| y0 |
| x0 |
| D |
| С |
| В |
| О |
| нейтральная линия |
| σC |
| x |
| y |
| А |
Рис.12.4. Распределение напряжений при внецентренном растяжении
В пределе при x0=y0=0, т.е. когда сила Р приложена в центре тяжести сечения, нейтральная линия находится в бесконечности. При этом имеет место простое (центральное) растяжение или сжатие, все напряжения в сечении одного знака и равны между собой.
Если нейтральная линия пересекает сечение, то с одной стороны от нее возникает зона растяжения, а с другой – зона сжатия (рис.12.4). Проводя линии, параллельные нейтральной и касательные к контуру сечения, можно найти наиболее удаленные точки от нейтральной линии, в которых нормальные напряжения достигают своих максимальных значений. В рассмотренном случае это точки C и D.
Условия прочности в данных точках запишем в виде
(12.6)
где xC, yC, xD, yD – координаты опасных точек. Знаки слагаемых в формулах (12.6) выбираются исходя из анализа направлений действия изгибающих моментов и нормальной силы. Если нейтральная линия не пересекает поперечное сечение, то все нормальные напряжения будут одного знака.
Область в окрестности центра тяжести сечения, обладающая тем свойством, что при приложении силы Р в пределах этой области, напряжения во всех точках сечения будут одного знака, называется ядром сечения.
Некоторые материалы (бетон, кирпич, серый чугун) сопротивляются растяжению значительно хуже, чем сжатию. Для соответствующих конструкций важно, чтобы в материале не возникали растягивающие напряжения, а значит сжимающая силы должна быть приложена в пределах ядра сечения.
Если сила при внецентренном растяжении (сжатии) приложена на границе ядра сечения, то нейтральная линия касается контура сечения. Это условие используется для определения размеров ядра сечения. Например, для бруса круглого поперечного сечения из условия геометрической симметрии следует, что ядро сечения должно иметь форму круга (рис. 12.5). Пусть точка приложения силы Р находится на оси Oy на расстоянии от начала координат равном r (координаты точки приложения силы – x0=0, y0=r). Уравнение нейтральной линии в данном случае принимает вид (см. формулу 12.5)
Это уравнение прямой параллельной оси Ox. Так как ядро сечения представляет собой окружность радиуса r, то нейтральная линия должна касаться контура в точке А (рис. 12.5). Расстояние от начала координат да нейтральной линии равно радиусу окружности поперечного сечения бруса R. Тогда, с учетом выражения (12.5а), находим
Отсюда r=R/4, т.е. ядро бруса круглого поперечного сечения радиусом R представляет собой круг радиусом R/4.