Косой изгиб. Определение напряжений. Условия прочности

Тема 12. Частные случаи сложного нагружения. Косой изгиб. Внецентренное растяжение и сжатие. Определение напряжений. Условия прочности

Косой изгиб. Определение напряжений. Условия прочности

В предыдущей теме были рассмотрены случаи сложного нагружения бруса круглого и прямоугольного поперечного сечения. При этом учитывается действие четырех внутренних силовых факторов: продольной силы N; крутящего момента М_кр=М_z; изгибающих моментов M_x и M_z. Поперечные силы не учитываются, т.к. для сплошных поперечных сечений вкладом этих сил в суммарное напряженно – деформированное состояние элемента конструкции можно пренебречь. Важно, что в рассмотренных ранее случаях сложного нагружения изгибающие моменты действовали относительно главных центральных осей и, следовательно, плоскость действия (силовая плоскость) совпадала с одной их главных плоскостей.

Очевидно, что возникновение тех или иных внутренних силовых факторов в рассматриваемом сечении элемента конструкции зависит от особенностей приложения внешних нагрузок. Так, рассмотрим частный случай нагружения прямого бруса произвольного поперечного сечения внешним изгибающим моментом, плоскость действия которого проходит через центр тяжести сечения и не совпадает ни с одной из главных плоскостей. Напомним, что в главной плоскости лежит продольная ось бруса и одна из главных осей поперечного сечения.

В данном случае нагружения в поперечных сечениях бруса будут действовать изгибающие моменты М (рис. 12.1), плоскость действия которых (силовая плоскость) наклонена по отношению к главной центральной оси, например Ox, на угол α.

Рис. 12.1. Косой изгиб бруса произвольного поперечного сечения

Представим действующий изгибающий момент в виде вектора и разложим его на составляющие по главным центральным осям Ox и Oy. Тогда изгибающие моменты в проекциях на главные центральные оси равны

Моменты Mx и My действуют относительно главных центральных осей и для определения напряжений и деформаций в этом случае можно воспользоваться формулами, полученными для случая чистого изгиба. На основании принципа независимости действия сил, напряжения в произвольной точке с координатами (x, y) равны алгебраической сумме напряжений от изолированно действующих моментов Mx и My:

(12.1)

Знаки слагаемых в формуле (12.1) определяются по правилам, введенным для нормальных напряжений: растяжение – «плюс»; сжатие – «минус». Если в каждой точке поперечного сечения бруса отложить вектор напряжения σ, который параллелен оси Oz, то концы векторов образуют плоскость (эпюра напряжений в данном сечении), уравнение которой описывается формулой (12.1).

Найдем уравнение линии пересечения данной плоскости (т.е. плоскости, в которой лежат концы векторов нормальных напряжений в произвольных точках сечения и заданной уравнением (12.1)) с плоскостью поперечного сечения бруса. Эта линия будет нейтральной (на ней напряжения σ равны нулю). Тогда из (12.1) имеем

откуда

(12.2)

Уравнение нейтральной линии (12.2) графически представляет собой прямую, проходящую через начало координат, а угол ее наклона в выбранной системе координат определяется коэффициентом . Известно, что в общем случае уравнение прямой записывается в виде y = kx.

При чистом изгибе нейтральная линия перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента и, следовательно, перпендикулярна линии пересечения плоскости действия изгибающего момента (силовой плоскости) с плоскостью поперечного сечения.

Условие перпендикулярности двух прямых, проходящих через центр тяжести сечения (начало координат), имеет вид К₁= -1/К₂, где К₁ и К₂ – угловые коэффициенты прямых.

В рассматриваемом случае угловой коэффициент линии пересечения плоскости действия изгибающего момента с плоскостью поперечного сечения равен (рис. 12.1)

Угловой коэффициент нейтральной линии из формулы (12.2)

Следовательно,

Видно, что условие перпендикулярности двух прямых соблюдается лишь в том случае, когда I_x = I_y. Заметим, что в таком случае любая ось, проходящая через центр тяжести сечения, будет главной центральной осью (вал круглого поперечного сечения, кольцо) и имеет место чистый изгиб моментом М.

Если рассматривается прямой брус постоянного поперечного сечения, то и угол наклона нейтральной линии также постоянен. В этом случае поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются относительно параллельных друг другу нейтральных линий, как и при прямом изгибе. Искривление оси бруса происходит в одной плоскости, перпендикулярной к нейтральным линиям. При этом изогнутая ось бруса является плоской кривой, но прогибы не лежат в плоскости действия изгибающего момента. Отсюда и название данного вида нагружения – косой изгиб.

При изменении плоскости действия изгибающего момента М по длине бруса (угол α=α(z)), изогнутая ось бруса уже является пространственной кривой, такой изгиб называется неплоским изгибом.

Перемещения центров тяжести сечений (прогибы) определяются на основании принципа независимости действия сил как геометрическая сумма перемещений в каждой из главных плоскостей по формулам чистого изгиба.

Для проверки прочности удобно приводить косой изгиб к двум плоским изгибам. Для этого нагрузки раскладывают по составляющим, расположенным в главных плоскостях. Затем определяют внутренние силовые факторы – изгибающие моменты Mx и My, действующие относительно соответствующих главных центральных осей. Напряжения в соответствующих точках сечения с координатами (x, y) определяются по формуле (с учетом знаков):

Проверку прочности следует проводить в сечениях, где одновременно максимальных (близких к максимальным) значений достигают моменты Mx и My. Таких сечений может быть несколько. Так как эпюра распределения напряжений по сечению линейна, то максимальные напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии данного сечения. Если сечение имеет две оси симметрии и имеются точки одновременно максимально удаленные от двух главных осей, то опасные точки можно определить, анализируя распределение напряжений от изгибающих моментов относительно главных осей. Например, для стержня прямоугольного поперечного сечения, изображенного на рис. 12.2а, наиболее опасными будут точки А и С, в которых от двух изгибающих моментов Mx и My напряжения суммируются, отличаясь только знаком.

Для бруса произвольного поперечного сечения для определения опасных точек поступают следующим образом. По уравнению (12.2) строят на рисунке сечения нейтральную линию в главных центральных осях. Проводя касательные линии к контуру сечения, параллельные нейтральной линии, определяют точки, наиболее удаленные от нейтральной линии (точки А и В на рис. 12.2б). Зная координаты этих точек А (x_A, y_A) и В (x_В, y_В), по формуле (12.1) вычисляют нормальные напряжения в опасных точках.

Рис. 12.2. Опасные точки в сечении при косом изгибе

Отметим, что при поперечном изгибе в двух главных плоскостях в поперечных сечениях в общем случае возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Q_x, Q_y и изгибающие моменты Mx и My. Для сплошных сечений касательные напряжения от поперечных сил незначительны и ими пренебрегают. Однако для тонкостенных конструкций (двутавр, швеллер), которые наиболее широко применяются в авиационных конструкциях, такое упрощение недопустимо и кроме нормальных напряжений при решении задач прочности следует учитывать влияние касательных напряжений от поперечных сил.

Если известны координаты наиболее опасной точки сечения, например (x₁, y₁), то условия прочности можно записать в виде

(12.3)