Приведем другое решение. Примечание 2.. Приведем другое решение.

Вариант № 5

1. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 140 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

Решение.

Скидка на покупку составит 140 · 0,05 = 7 рублей. Значит, держатель дисконтной карты заплатит за книгу 140 − 7 = 133 рубля.

Ответ: 133.

2. На рисунке жирными точками показан курс евро, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 22 сентября по 22 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена евро в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько рабочих дней из данного периода курс евро был ровно 41,4 рубля.

Решение.

Из графика видно, что курс евро был ровно 41,4 рубля 1 и 7 октября.

Ответ: 2.

Примечание 1.

Отметим, что на графике пропущены не даты выходных дней, а воскресенья и понедельники. Читатель, знакомый с тем, как работает межбанковский валютный рынок, знает, что с курс Центрального банка устанавливается по результатам торгов на бирже текущего дня, вступает в силу на следующий день и действует до момента установления нового курса. Поэтому очередной курс устанавливается на субботу по результатам торгов в пятницу, не меняется в воскресенье и не меняется на понедельник (потому что в воскресенье не было торгов). А на вторник устанавливается новый курс по результатам понедельничных торгов.

Примечание 2.

В предыдущей формулировке задания спрашивалось, в какие дни курс евро был равен 42,4 рубля. В этом случае ответом являлись указанные на графике дни 16, 19 и 21 октября, но оставался вопрос, включать ли в ответ дни 17 и 18 октября, когда курс не менялся. Мы связались с разработчиками и сообщили им об этом; формулировку уточнили.

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите

Решение.

треугольник прямоугольный, значит, радиус описанной вокуг него окружности равен половине гипотенузы.

Ответ: 5.

4. В сборнике билетов по химии всего 50 билетов, в 14 из них встречается вопрос по теме "Соли". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Соли".

Решение.

Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Соли", равна

Ответ: 0,28.

5. Найдите корень уравнения

Решение.

Выполним преобразования, используя формулы и :

Ответ: −1,5.

6. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Решение.

Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей. Поэтому она равна 0,5.

Ответ: 0,5.

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале (−4; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = −2 x − 10 или совпадает с ней.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2 x − 10 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. Таких точек 5.

Ответ: 5.

8. Длина окружности основания цилиндра равна 1. Площадь боковой поверхности равна 2. Найдите высоту цилиндра.

Решение.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, лежащей в основании, на высоту. Поэтому высота цилиндра равна 2.

Ответ: 2.

9. Найдите значение выражения

Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: −4.

10. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде , где p (Па) — давление в газе, V — объeм газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 9 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 27 раз?

Решение.

Пусть и – начальные, а и – конечные значения объема и давления газа, соответственно. Условие означает, что откуда Задача сводится к решению неравенства , причем по условию :

Ответ: 1,5.

11. Первые 110 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 130 км — со скоростью 100 км/ч, а затем 180 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Средняя скорость автомобиля равна

км/ч.

Ответ: 84.

12. Найдите точку максимума функции

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума

Ответ: 7.

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Получаем:

б) Корни, принадлежащие отрезку отберём с помощью единичной окружности. Получаем числа: и

Ответ: а) б)

14. В основании прямой треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точки K и M — середины рёбер A ₁ B ₁ и AC соответственно.

а) Докажите, что KM = KB.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB ₁, если AB = 8, AC = 6 и AA ₁ = 3.

Решение.

а) Пусть L — середина ребра AB. Треугольник AMB прямоугольный, поэтому его медиана LM равна половине гипотенузы и равна LB. Из равенства треугольников KLM и KLB следует, что KM = KB.

б) Пусть MH — высота в треугольнике AMB. Прямая MH перпендикулярна прямым AB и BB ₁, следовательно она перпендикулярна плоскости ABB ₁ и угол HKM искомый. Вычисляя двумя способами площадь треугольника AMB, получим откуда

поэтому

Откуда

Ответ: б)

15. Решите неравенство:

Решение.

Преобразуем неравенство:

Пусть тогда система примет вид

Вернёмся к исходной переменной:

Ответ:

16. Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.

а) Докажите, что ∠ CAN = ∠ CMN.

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если

Решение.

а) Заметим, что тогда вокруг ACNM можно описать окружность, тогда как угол, опирающийся на одну дугу, что и требовалось доказать.

б) Пусть тогда

Так как:

получаем:

По теореме синусов

Ответ:

17. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

Месяц и год	Июль 2026	Июль 2027	Июль 2028	Июль 2029
Долг (в млн рублей)	S	0,8 S	0,4 S

Найдите наибольшее S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн руб.

Решение.

В соответствии с условием задачи заполним таблицу:

Год	Долг в январе после начисления процентов	Выплата	Долг в июле до начисления процентов
			S
	1,2 S	0,4 S	0,8 S
	0,96 S	0,56 S	0,4 S
	0,48 S	0,48 S

Для того, чтобы каждая из выплат была меньше 5 млн рублей, достаточно, чтобы наибольшая из выплат была меньше 5 млн руб.:

Наибольшее целое S, удовлетворяющее неравенству, равно 8.

Ответ: 8.

18. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Решение.

Преобразуем систему:

Изобразим линии, соответствующие уравнениям и неравенствам системы, в плоскости xOy. Уравнения задают две прямые, проходящие через начало координат. Двойное неравенство задают внутреннюю часть вертикальной полосы, ограниченной прямыми и Уравнение задает окружность с центром в точке и радиусом

Найдем абсциссы точек пересечения прямой и окружности: подставим во второе уравнение исходной системы. Получим: то есть или Аналогично найдем абсциссы точек пересечения окружности и прямой Имеем: откуда или

Тем самым получены абсциссы трех точек которые могут быть решениями системы при условии существования логарифмов. Требуется, чтобы (строго) внутрь полосы симметричной относительно оси ординат, попали ровно две из трех этих точек. Это происходит в точности тогда, когда . Таким образом,

Ответ:

Приведем другое решение.

Преобразуем первое уравнение системы:

Второе уравнение системы с учетом условия принимает вид: Подставляя в полученное уравнение y = x, получаем откуда или Подставляя в уравнение (⁎) y = − x, получаем откуда или

Два различных решения система будет иметь в следующих трех случаях:

или или

Первая и последняя из полученных систем несовместны, решением второй являются

19. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?

б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе № 2 равняться 1?

в) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Решение.

а) Пусть в школе № 1 писали тест n учащихся, а средний балл был равен А. Тогда суммарный балл всех учащихся этой школы равнялся nA, а значит, после перехода одного учащегося в школу № 2, суммарный балл стал равен Таким образом, суммарный балл уменьшился на что невозможно, поскольку перешедший учащийся набрал положительное количество баллов, а

б) Пусть в школе № 2 средний балл равнялся В, а перешедший в нее учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

или

Если то поскольку число должно делиться на 10, а не должно быть отрицательным. Получаем что невозможно, поскольку A целое.

в) Заметим, что если то или В первом случае а во втором Значит, ни один из этих случае не возможен.

При получаем откуда Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 2 учащихся и набрали 22 и 18 баллов, а в школе № 2 писали тест 49 учащихся и каждый набрал по три балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 18 баллов.