Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации

Содержание

Условие задачи. 3

Теоретическое введение. 4

Решение. 5

Вывод. 14

Список используемой литературы.. 14

Условие задачи

Прочность Y (кг/см²) бетона при испытании цилиндрических образцов в зависимости от отношения X = h / a высоты h к диаметру a оказалась равной:

X	1,5	2,9		3,1	3,2	3,4	3,5	3,6	4,2
Y

На основании опытных данных требуется:

1. Построить корреляционное поле. По характеру расположения точек в корреляционном поле подобрать вид функции регрессии.

2. Написать уравнение функции регрессии.

3. Определить тесноту корреляционной связи между рассматриваемыми признаками.

4. Проверить адекватность модели.

5. Построить линию регрессии в системе координат.

Теоретическое введение

Регрессионный анализ - это метод установления аналитического выражения стохастической зависимости между исследуемыми признаками. Уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется у при изменении любого из x_i, и имеет вид:

где у - зависимая переменная (она всегда одна);

х_i - независимые переменные (факторы) (их может быть несколько).

Если независимая переменная одна - это простой регрессионный анализ. Если же их несколько (п 2), то такой анализ называется многофакторным.

В ходе регрессионного анализа решаются две основные задачи:

построение уравнения регрессии, т.е. нахождение вида зависимости между результатным показателем и независимыми факторами x ₁, x ₂, …, x_n.

оценка значимости полученного уравнения, т.е. определение того, насколько выбранные факторные признаки объясняют вариацию признака у.

Применяется регрессионный анализ главным образом для планирования, а также для разработки нормативной базы.

В отличие от корреляционного анализа, который только отвечает на вопрос, существует ли связь между анализируемыми признаками, регрессионный анализ дает и ее формализованное выражение. Кроме того, если корреляционный анализ изучает любую взаимосвязь факторов, то регрессионный - одностороннюю зависимость, т.е. связь, показывающую, каким образом изменение факторных признаков влияет на признак результативный.

Регрессионный анализ - один из наиболее разработанных методов математической статистики. Строго говоря, для реализации регрессионного анализа необходимо выполнение ряда специальных требований (в частности, x _l ,x ₂ ,...,x_n; y должны быть независимыми, нормально распределенными случайными величинами с постоянными дисперсиями). В реальной жизни строгое соответствие требованиям регрессионного и корреляционного анализа встречается очень редко, однако оба эти метода весьма распространены в экономических исследованиях. Зависимости в экономике могут быть не только прямыми, но и обратными и нелинейными.

Решение

Решение поставленной задачи будет производится с помощью программного обеспечения MicrosoftOffice, а именно средствами приложения Excel.

1) На основании исходных данных построим корреляционное поле:

Рисунок 1 Корреляционное поле

Исходя из характера расположения точек, можно предположить, что наилучшим образом данную зависимость будет описывать степенная или логарифмическая регрессионная функция. Для проверки данного предположения сформируем гипотезы о форме связи и произведём расчёт параметров для четырёх различных типов функций:

· Линейной

· Степенной

· Логарифмический

· Показательной

а) Линейная парная регрессия рассчитывается по следующей формуле:

Для расчёта параметров a и b используем формулы:

Где – средние значения велечин, представленные в Таблице 1.

Таблица 1

	Линейная регрессия y = bx+a
	X	Y	X²	XY
	1,5		2,25
	2,9		8,41	1792,2

	3,1		9,61
	3,2		10,24	2118,4
	3,4		11,56	2376,6
	3,5		12,25	2509,5
	3,6		12,96
	4,2		17,64	3301,2
Среднее	3,155556		10,43556	2200,989

Вычислим значения коэффициентов регрессии a и b:

Следовательно линейное уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 2 Линейная парная регрессия

б) Степенная парная регрессия рассчитывается по следующей формуле:

Для определения параметров a и b необходимо линеаризировать его, для чего логарифмируем его правую и левую части:

Обозначим , ,

Тогда:

Для расчёта параметров a и b используем формулы:

Таблица 2

	X	Y	X*=lg(x)	Y*=lg(y)	X²*	XY
	1,5		0,176	2,763	0,031	0,487
	2,9		0,462	2,791	0,214	1,291
			0,477	2,818	0,228	1,345
	3,1		0,491	2,826	0,241	1,389
	3,2		0,505	2,821	0,255	1,425
	3,4		0,531	2,844	0,282	1,512
	3,5		0,544	2,856	0,296	1,554
	3,6		0,556	2,889	0,309	1,607
	4,2		0,623	2,895	0,388	1,805
Среднее	3,156	685,000	0,485	2,834	0,249	1,379

Вычислим значения коэффициентов регрессии a и b:

Следовательно степенное уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 3 Степенная парная регрессия

в) Уравнение логарифмическойрегрессииимеет следующий вид:

Для определения параметров a и b обозначим и представим уравнение в следующем виде:

Для расчёта параметров a и b используем формулы:

Таблица 3

	X	Y	X*=lg(x)	X²*	XY*
	1,5		0,176	0,031	102,133
	2,9		0,462397998	0,213811908	285,76
			0,477	0,228	313,946
	3,1		0,491	0,241	329,212
	3,2		0,505	0,255	334,409
	3,4		0,531	0,282	371,504
	3,5		0,544	0,296	390,097
	3,6		0,556	0,309	431,134
	4,2		0,623	0,388	489,874
Среднее	3,156		0,485	0,249	338,675

Вычислим значения коэффициентов регрессии a и b:

Следовательно логарифмическое уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 4Логарифмическая регрессия

г) Уравнение логарифмической регрессии имеет следующий вид:

Для определения параметров a и b необходимо линеаризировать его, для чего прологарифмируем правую и левую части уравнения:

Обозначим , ,

Тогда:

Для расчёта параметров a и b используем формулы:

Таблица 4

	X	Y	Y*=lg(y)	X²	XY*
	1,5		2,763	2,25	4,145
	2,9		2,791	8,41	8,094
			2,818		8,455
	3,1		2,826	9,61	8,761
	3,2		2,821	10,24	9,027
	3,4		2,844	11,56	9,671
	3,5		2,856	12,25	9,994
	3,6		2,889	12,96	10,401
	4,2		2,895	17,64	12,161
Среднее	3,156	685,000	2,834	10,436	8,968