Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок № 8 Перпендикулярность прямой и плоскости
Перечень вопросов, рассматриваемых по теме
1. Ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
2. Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых;
3. Решать задачи по теме.
Глоссарий по теме
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 
. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости
Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Основная литература:
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень
Дополнительная литература:
Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.
Открытые электронные ресурсы:
Перпендикулярность прямой и плоскости. https://school-collection.edu.ru // Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.
Перпендикулярность прямой и плоскости. https://www.yaklass.ru // Я-класс. Образовательный портал Сколково.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой..
Доказательство:
Дано: a ‖ b, a ⊥ c
Доказать: b ⊥ c
Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90о.
Так как b ‖ a, а а ‖ МА, то b ‖ МА.
Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90о, т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90о
Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90о, то есть b ⊥ с.
Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Доказательство:
Дано: a ‖ а1, а ⊥ α
Доказать, что а1 ⊥ α
Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.
По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.
Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α
Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Дано: а ⊥ α, b ⊥ α
Доказать, что а ‖ b
Доказательство:
Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.
М ∊ b, M ∊ b1, b1 ‖ a. По предыдущей теореме b1 ⊥ α.
Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е. b ∊ β, b1 ∊ β, α 
β = c (невозможно)→ а ‖ b
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Рис. 2.
Доказательство.
Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.
Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.
Рис. 3.
В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.
Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.
Предположим, что существует прямая с 1, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с1 параллельны. Но по построению прямые с и с1 пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.