Лемма [1]. Пусть 
– наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) 
обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;
2) группа 
принадлежит 
, если 
, 
– 
-субнормальные -подгруппы группы 
;
3) – формация Фиттинга и всякая -субнормальная -подгруппа группы 
содержится в -радикале этой группы.
Установим, что из 1) следует 2).
Пусть – контрпример минимального порядка. В этом случае 
, где 
-субнормальная -подгруппа группы , 
, и не принадлежит . Пусть 
– минимальная нормальная подгруппа группы . Все условия леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора имеем, что 
. В виду теоремы 4.3 из [7] формация является насыщенной. Поэтому группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу 
и 
.
Если 
, то – простая группа. Так как 
и 
– 
-субнормальная подгруппа группы 
, 
, то либо 
, либо 
. Значит, 
. Противоречие с выбором группы .
Пусть 
. Рассмотрим подгруппы 
и 
. Так как – собственная -субнормальная подгруппа 
и , то нетрудно видеть, что 
– собственная подгруппа , 
. Покажем, что 
.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть – абелева группа. Тогда – 
-группа, – простое число. Так как 
и подгруппа -субнормальна в , то по лемме 2.6 получаем 
, 
.
2. Пусть – неабелева группа. В этом случае
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и 
.
Рассмотрим подгруппу 
. Так как подгруппа -субнормальна в , то ввиду леммы 2.4 и подгруппа 
-субнормальна в группе 
. Пусть
Ввиду леммы 2.5 подгруппа 
-субнормальна в для любого 
из 
. Так как формация 
обладает решеточным свойством для 
-субнормальных подгрупп, то 
– -субнормальная подгруппа . Кроме того, из 
следует, что 
. Если 
, то 
. Получили противоречие с 
. Значит, 
. Так как нормальна в , то 
нормальна в 
. Но
где 
– неабелева простая группа и 
для всех 
. Поэтому
Из и наследственности формации следует, что 
. Но тогда 
. Далее, так как 
, то по лемме 2.5 подгруппа 
-субнормальна в . Значит, она -субнормальна и в , . Тогда из получаем что
Пусть 
– добавление к подгруппе в группе . Так как 
, то 
. В силу насыщенности формации из
и
получаем, что 
. Итак, 
, и 
.
Используя тождество Дедекинда, имеем
Если предположить, что 
, то 
. В этом случае
Так как , то 
не может быть -субнормальной подгруппой в . Следовательно, можно считать, что 
, 
.
Так как подгруппа 
-субнормальна в группе и 
, то из наследственности формации следует, что подгруппа 
-субнормальна в 
.
Так как формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то 
– -субнормальная подгруппа группы . Кроме того, из и наследственности формации имеем 
. Обозначим 
, , и рассмотрим подгруппу 
. Если 
, то 
, что невозможно ввиду -субнормальности в подгруппы 
.
Пусть 
. Из 
, нормальности в и нормальности 
в следует, что нормальна в .
Так как
то
Таким образом получаем
Так как 
, то 
– подгруппа из 
. Тогда из -субнормальности в подгрупп 
и 
следует, что подгруппа
-субнормальна в . Это невозможно ввиду равенства 
. Значит, 
. Противоречие.
Докажем, что из 2) следует 3). Пусть 
, где 
– нормальная -подгруппа группы , . Так как
и 
, то 
. Из наследственности формации получаем, что подгруппа 
-субнормальна в 
. Ввиду леммы 2.6 подгруппа 
теперь -субнормальна в 
, . Так как выполняется условие 2) леммы, то
Следовательно, – формация Фиттинга.
Пусть 
– -субнормальная -подгруппа группы . Ввиду леммы 2.5 подгруппа 
-субнормальна в 
для всех 
. Так как выполняются условия 2) леммы, то
Отсюда следует, что
Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Пусть 
и 
– -субнормальные подгруппы группы 
и 
. Если – минимальная нормальная подгруппа группы , то можно считать, что 
. Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем, что 
– -субнормальная подгруппа группы 
. На основании леммы 2.6 тогда подгруппа 
-субнормальна в . Если 
, то по индукции подгруппа 
-субнормальна в 
, и значит, ввиду леммы 2.5 она -субнормальна.
Будем далее считать, что 
для любой минимальной нормальной подгруппы группы . Ясно, что 
. Если 
, то в силу леммы 3.1.3 
субнормальна в . Но тогда ввиду [8]
Это означает, что 
. Противоречие. Значит 
и . Аналогично доказывается, что 
. Итак, и 
.
По условию леммы 
– формация Фиттинга и 
, 
. Следовательно,
Пусть 
– минимальная нормальная подгруппа группы , содержащейся в 
. Тогда
Из наследственности формации следует, что – -субнормальная подгруппа группы 
.
Итак, порождение двух -субнормальных подгрупп и 
группы -субнормальна в . Ввиду леммы 2.5 
– также -субнормальная подгруппа группы . Значит, формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть – наследственная локальная формация. Если замкнута относительно расширений, то формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.
Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.
Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации 
и 
обладают решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.
Пусть 
обозначают некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть 
– некоторое семейство классов групп. Обозначим через 
класс всех групп , представимых в виде
где 
и 
, 
.
Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:
1) пусть 
– наследственная локальная формация, обладающая решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, 
. Тогда и формация 
обладает решеточным свойством для 
-субнормальных подгрупп;
2) пусть 
– некоторое семейство наследственных локальных формаций и 
для любых 
. Тогда и только тогда формация
обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда для каждого 
формация 
обладает решеточным свойством для 
-субнормальных подгрупп.
Пусть формация 
обладает решеточным свойством для 
-субнормальных подгрупп, . Ввиду леммы 3.1 
и 
– формации Фиттинга поэтому из леммы 2.1.3 следует, что 
также является формацией Фиттинга.
Пусть – -субнормальная подгруппа группы и 
. Ясно, что подгруппа 
-субнормальна в для любого 
. Так как 
и 
, то ввиду леммы 3.1 получаем, что 
и 
. Следовательно,
Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.
Докажем утверждение 2). Пусть формация
обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Отметим, что 
. Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп.
Обратно, пусть для любого формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Пусть
Индукцией по порядку группы покажем, что любая группа 
, где 
, – -субнормальные -подгруппы группы принадлежат .
Пусть 
– минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что 
. Так как – насыщенная формация, то имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и 
. Ясно, что
Отметим также, что
где 
– изоморфные простые группы для 
.
Докажем, что 
. Рассмотрим группу 
. Так как подгруппа -субнормальна в , то 
. Тогда по индукции
Рассмотрим пересечение 
. Если
то
Отсюда и из того факта, что 
– нормальная подгруппа 
и 
следует, что 
.
Пусть 
. Так как – нормальная подгруппа из 
, то 
– нормальная подгруппа из . А это значит, что
Из наследственности формации и 
получаем, что 
. Но тогда .
Из строения 
и
для любых 
, следует, что 
для некоторого 
. Так как
то нетрудно видеть, что группа имеeт 
-холловскую подгруппу 
.
Так как , то 
– -субнормальная подгруппа группы . Так как 
, и 
, 
– -субнормальные подгруппы, то по индукции имеем, что
Отсюда и из ввиду 
получаем 
. Аналогично доказывается, что 
. Таким образом,
Отсюда и из -субнормальности и в нетрудно заметить, что , – -субнормальные подгруппы группы . Из 
и 
ввиду наследственности 
следует, что 
и 
. Так как по условию формация 
обладает решеточным свойством для 
- субнормальных подгрупп, то ввиду леммы 3.1
Итак, содержит некоторую группу 
, где , – -субнормальные -подгруппы группы . Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть – нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если в каждой разрешимой группе все -субнормальные подгруппы образуют решетку, то имеет вид
где 
для любых 
из 
;
2) если – формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.
1) Покажем, что 
является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что 
и 
.
Пусть 
– максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно лемме 2.3
где 
– единственная минимальная нормальная подгруппа группы , 
( – простое число), а 
– максимальная подгруппа группы , являющейся минимальной не 
-группой.
Докажем, что 
– циклическая 
-группа для некоторого простого числа 
. Допустим противное. Тогда в 
найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы 
и 
. Рассмотрим в подгруппу 
, . Ясно, что 
-субнормальна в 
, . Из 
, и 
по лемме 3.1 получаем, что 
. Получили противоречие с выбором .
Следовательно, – циклическая группа порядка 
, где 
– некоторое простое число, 
, 
– натуральное число. Допустим, что 
. Обозначим через 
– регулярное сплетение циклических групп 
и соответственно порядков 
и .
По теореме 6.2.8 из [2] изоморфна некоторой подгруппе группы . Так как 
и 
, то ввиду теоремы 2.4 из [5] 
.
Рассмотрим регулярное сплетение 
, где 
. Тогда 
, где – элементарная абелева -группа. Так как 
, то 
. Из
следует что 
.
Рассмотрим в 
подгруппы 
и 
, где 
– база сплетения 
. Ясно, что 
-субнормальна в , . Кроме того, 
. Отсюда
Так как 
, то 
по лемме 3.1. Получили противоречие.
Следовательно, 
и – группа Шмидта. Если 
и 
, то по лемме 1.1.6 также является группой Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12 является наследственной формацией.
Покажем, что формация имеет такой локальный экран 
, что
p(F) 
p'(F) 
p(F) 
Действительно. Пусть 
– локальный экран формации 
. Так как 
для любого простого числа 
из 
, то 
. Покажем обратное.
Пусть – группа минимального порядка из 
. Так как 
– наследственная формация и – насыщенная формация, то – минимальная не -группа и 
. Теперь, согласно лемме 2.3
где 
– единственная минимальн