Лемма [1]. Пусть – наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп;
2) группа принадлежит
, если
,
–
-субнормальные
-подгруппы группы
;
3) – формация Фиттинга и всякая
-субнормальная
-подгруппа группы
содержится в
-радикале этой группы.
Установим, что из 1) следует 2).
Пусть – контрпример минимального порядка. В этом случае
, где
-субнормальная
-подгруппа группы
,
, и
не принадлежит
. Пусть
– минимальная нормальная подгруппа группы
. Все условия леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора
имеем, что
. В виду теоремы 4.3 из [7] формация
является насыщенной. Поэтому группа
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
и
.
Если , то
– простая группа. Так как
и
–
-субнормальная подгруппа группы
,
, то либо
, либо
. Значит,
. Противоречие с выбором группы
.
Пусть . Рассмотрим подгруппы
и
. Так как
– собственная
-субнормальная подгруппа
и
, то нетрудно видеть, что
– собственная подгруппа
,
. Покажем, что
.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть – абелева группа. Тогда
–
-группа,
– простое число. Так как
и подгруппа
-субнормальна в
, то по лемме 2.6 получаем
,
.
2. Пусть – неабелева группа. В этом случае
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .
Рассмотрим подгруппу . Так как подгруппа
-субнормальна в
, то ввиду леммы 2.4 и подгруппа
-субнормальна в группе
. Пусть
Ввиду леммы 2.5 подгруппа
-субнормальна в
для любого
из
. Так как формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп, то
–
-субнормальная подгруппа
. Кроме того, из
следует, что
. Если
, то
. Получили противоречие с
. Значит,
. Так как
нормальна в
, то
нормальна в
. Но
где – неабелева простая группа и
для всех
. Поэтому
Из и наследственности формации
следует, что
. Но тогда
. Далее, так как
, то по лемме 2.5 подгруппа
-субнормальна в
. Значит, она
-субнормальна и в
,
. Тогда из
получаем что
Пусть – добавление к подгруппе
в группе
. Так как
, то
. В силу насыщенности формации
из
и
получаем, что . Итак,
,
и
.
Используя тождество Дедекинда, имеем
Если предположить, что , то
. В этом случае
Так как , то
не может быть
-субнормальной подгруппой в
. Следовательно, можно считать, что
,
.
Так как подгруппа
-субнормальна в группе
и
, то из наследственности формации
следует, что подгруппа
-субнормальна в
.
Так как формация обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп, то
–
-субнормальная подгруппа группы
. Кроме того, из
и наследственности формации
имеем
. Обозначим
,
, и рассмотрим подгруппу
. Если
, то
, что невозможно ввиду
-субнормальности в
подгруппы
.
Пусть . Из
, нормальности
в
и нормальности
в
следует, что
нормальна в
.
Так как
то
Таким образом получаем
Так как , то
– подгруппа из
. Тогда из
-субнормальности в
подгрупп
и
следует, что подгруппа
-субнормальна в
. Это невозможно ввиду равенства
. Значит,
. Противоречие.
Докажем, что из 2) следует 3). Пусть , где
– нормальная
-подгруппа группы
,
. Так как
и , то
. Из наследственности формации
получаем, что подгруппа
-субнормальна в
. Ввиду леммы 2.6 подгруппа
теперь
-субнормальна в
,
. Так как выполняется условие 2) леммы, то
Следовательно, – формация Фиттинга.
Пусть –
-субнормальная
-подгруппа группы
. Ввиду леммы 2.5 подгруппа
-субнормальна в
для всех
. Так как выполняются условия 2) леммы, то
Отсюда следует, что
Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Пусть
и
–
-субнормальные подгруппы группы
и
. Если
– минимальная нормальная подгруппа группы
, то можно считать, что
. Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем, что
–
-субнормальная подгруппа группы
. На основании леммы 2.6 тогда подгруппа
-субнормальна в
. Если
, то по индукции подгруппа
-субнормальна в
, и значит, ввиду леммы 2.5 она
-субнормальна.
Будем далее считать, что для любой минимальной нормальной подгруппы группы
. Ясно, что
. Если
, то в силу леммы 3.1.3
субнормальна в
. Но тогда ввиду [8]
Это означает, что . Противоречие. Значит
и
. Аналогично доказывается, что
. Итак,
и
.
По условию леммы – формация Фиттинга и
,
. Следовательно,
Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы
, содержащейся в
. Тогда
Из наследственности формации следует, что
–
-субнормальная подгруппа группы
.
Итак, порождение двух -субнормальных подгрупп
и
группы
-субнормальна в
. Ввиду леммы 2.5
– также
-субнормальная подгруппа группы
. Значит, формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть – наследственная локальная формация. Если
замкнута относительно расширений, то формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп.
Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.
Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации и
обладают решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп.
Пусть обозначают некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть
– некоторое семейство классов групп. Обозначим через
класс всех групп
, представимых в виде
где и
,
.
Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:
1) пусть – наследственная локальная формация, обладающая решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп,
. Тогда и формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп;
2) пусть – некоторое семейство наследственных локальных формаций и
для любых
. Тогда и только тогда формация
обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда для каждого
формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп.
Пусть формация обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп,
. Ввиду леммы 3.1
и
– формации Фиттинга поэтому из леммы 2.1.3 следует, что
также является формацией Фиттинга.
Пусть –
-субнормальная подгруппа группы
и
. Ясно, что подгруппа
-субнормальна в
для любого
. Так как
и
, то ввиду леммы 3.1 получаем, что
и
. Следовательно,
Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.
Докажем утверждение 2). Пусть формация
обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Отметим, что
. Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация
обладает решеточным свойством для
- субнормальных подгрупп.
Обратно, пусть для любого формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп. Пусть
Индукцией по порядку группы покажем, что любая группа
, где
,
–
-субнормальные
-подгруппы группы
принадлежат
.
Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы
. Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что
. Так как
– насыщенная формация, то
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
и
. Ясно, что
Отметим также, что
где – изоморфные простые группы для
.
Докажем, что . Рассмотрим группу
. Так как подгруппа
-субнормальна в
, то
. Тогда по индукции
Рассмотрим пересечение . Если
то
Отсюда и из того факта, что – нормальная подгруппа
и
следует, что
.
Пусть . Так как
– нормальная подгруппа из
, то
– нормальная подгруппа из
. А это значит, что
Из наследственности формации и
получаем, что
. Но тогда
.
Из строения и
для любых , следует, что
для некоторого
. Так как
то нетрудно видеть, что группа имеeт
-холловскую подгруппу
.
Так как , то
–
-субнормальная подгруппа группы
. Так как
,
и
,
–
-субнормальные подгруппы, то по индукции имеем, что
Отсюда и из ввиду
получаем
. Аналогично доказывается, что
. Таким образом,
Отсюда и из -субнормальности
и
в
нетрудно заметить, что
,
–
-субнормальные подгруппы группы
. Из
и
ввиду наследственности
следует, что
и
. Так как по условию формация
обладает решеточным свойством для
- субнормальных подгрупп, то ввиду леммы 3.1
Итак, содержит некоторую группу
, где
,
–
-субнормальные
-подгруппы группы
. Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть – нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если в каждой разрешимой группе все -субнормальные подгруппы образуют решетку, то
имеет вид
где для любых
из
;
2) если – формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для
-субнормальных подгрупп.
1) Покажем, что является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что
и
.
Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации
. Согласно лемме 2.3
где – единственная минимальная нормальная подгруппа группы
,
(
– простое число), а
– максимальная подгруппа группы
, являющейся минимальной не
-группой.
Докажем, что – циклическая
-группа для некоторого простого числа
. Допустим противное. Тогда в
найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы
и
. Рассмотрим в
подгруппу
,
. Ясно, что
-субнормальна в
,
. Из
,
и
по лемме 3.1 получаем, что
. Получили противоречие с выбором
.
Следовательно, – циклическая группа порядка
, где
– некоторое простое число,
,
– натуральное число. Допустим, что
. Обозначим через
– регулярное сплетение циклических групп
и
соответственно порядков
и
.
По теореме 6.2.8 из [2] изоморфна некоторой подгруппе группы
. Так как
и
, то ввиду теоремы 2.4 из [5]
.
Рассмотрим регулярное сплетение , где
. Тогда
, где
– элементарная абелева
-группа. Так как
, то
. Из
следует что .
Рассмотрим в подгруппы
и
, где
– база сплетения
. Ясно, что
-субнормальна в
,
. Кроме того,
. Отсюда
Так как , то
по лемме 3.1. Получили противоречие.
Следовательно, и
– группа Шмидта. Если
и
, то по лемме 1.1.6
также является группой Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не
-группа является либо группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12
является наследственной формацией.
Покажем, что формация имеет такой локальный экран
, что
p(F) p'(F)
p(F)
Действительно. Пусть
– локальный экран формации
. Так как
для любого простого числа
из
, то
. Покажем обратное.
Пусть – группа минимального порядка из
. Так как
– наследственная формация и
– насыщенная формация, то
– минимальная не
-группа и
. Теперь, согласно лемме 2.3
где – единственная минимальн