Условимся под объектом исследования понимать изолированное целое, содержащее совокупность процессов и средств их реализации.
Средства реализации – устройства контроля, управления и связи между ними и объектом.
Полностью изолированных объектов в природе не существует.
Но тут необходимы методы абстрагирования и идеализации, для того,
чтобы отсеять второстепенное и выделить главное, и представить
объект исследования как условно изолированное целое.
Условимся, используя модель «черный ящик», предполагать, что внутренняя структура и характер связей между входными и выходными величинами исследователю неизвестны, о них он судит по значениям на выходе при определенных значениях на входе. Входные величины X условимся называть факторами, выходные Y - откликами, параметрами, реакцией, целевой функцией. Под входными величинами понимаем все, что оказывает влияние на выходные величины.
В инженерном эксперименте в качестве параметров, как правило, принимаются экономические величины (приведенные затраты, себестоимость, производительность труда и т.п.) или технические показатели (к.п.д., расход энергии, производительность машины, давление, напряжение и т.д.). К параметрам предъявляют следующие основные требования:
• должен быть количественным и оцениваться числом. Для качественных показателей используются ранговые и условные показатели оценки;
• параметр должен допускать проведение эксперимента при любом сочетании факторов. Недопустимо, чтобы при каком-то сочетании произошел взрыв или какая-либо другая форс-мажорная ситуация;
• данному сочетанию факторов с точностью до погрешности должно соответствовать одно значение параметра;
• параметр должен быть универсальным, т.е. характеризовать
объект всесторонне;
• желательно, чтобы параметр имел простой экономический или физический смысл, просто и легко вычислялся.
Фактором является любая величина, влияющая на параметр и способная изменяться независимо от других. Факторы можно разделить на следующие 3 группы:
• контролируемые и управляемые, которые можно изменять и устанавливать на заданном экспериментатором уровне;
• контролируемые, но неуправляемые величины;
• неконтролируемые и неуправляемые (обусловленные случайными воздействиями, износом деталей).
Кроме независимости, к факторам предъявляются и другие требования:
• операциональности (факторы должны быть операционально определимыми – т.е. в какой именно точке и каким прибором будут измеряться);
• совместимость – при всех сочетаниях значений факторов эксперимент будет безопасно выполнен;
• управляемость – экспериментатор устанавливает значение уровня по своему усмотрению;
• точность установления факторов должна быть существенно выше (по крайней мере на порядок) точности определения параметра.
• однозначность – означает непосредственность воздействия фактора (либо их комбинации-критерия подобия) на объект исследования.
• фактор должен быть количественным.
Группа U включает в себя контролируемые факторы, которые не допускают целенаправленного изменения в ходе исследования. К ним можно отнести, например, условия окружающей среды, в которых проводятся эксперименты. Группа Z образована контролируемыми и неконтролируемыми факторами. Они характеризуют возмущения, действующие на объект исследования, которые нельзя измерить количественно (например, неконтролируемые примеси в сырье, старение деталей и т.п.). Воздействие неконтролируемых факторов приводит к дрейфу характеристик во времени.
Основными свойствами объекта исследования являются: сложность, управляемость и воспроизводимость.
Сложность характеризуется числом состояний, которые в соответствии с целью исследований, можно различать при проведении исследований. Управляемость – свойство, позволяющее изменять состояние объекта по усмотрению исследователя. В управляемых объектах можно изменять все входные величины. В частично управляемых системах можно ставить эксперимент, за неуправляемыми можно только наблюдать. Воспроизводимость – свойство объекта переходить в одно и то же состояние при одинаковых сочетаниях факторов. Чем выше воспроизводимость, чем проще выполнять эксперимент и тем достовернее его результаты.
3. Основы математического планирования эксперимента
3.1. Основные понятия и определения
Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации об его свойствах Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих
независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение. (например, рецептура строительных материалов).
Опыт – это отдельная экспериментальная часть.
План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и порядок проведения опытов.
Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий, направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.
В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.
Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.
Пусть интересующее нас свойство (Y) объекта зависит от нескольких (n) независимых переменных (Х1, Х2, …, Хn) и мы хотим выяснить характер этой зависимости - Y=F(Х1, Х2, …, Хn), о которой мы имеем лишь общее представление. Величина Y – отклик, а сама зависимость Y=F(Х1,Х2, …, Хn) – функция отклика. Независимые переменные Х1, Х2, …, Хn – факторы. Диапазоны изменения факторов задают область определения Y. Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством. При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник, при n=3 – куб, при n >3 - гиперкуб.
При выборе диапазонов изменения факторов нужно учитывать их совместимость, т.е. контролировать, чтобы в этих диапазонах любые сочетания факторов были бы реализуемы в опытах и не приводили бы к абсурду. Для каждого из факторов указывают граничные значения 
Регрессионный анализ функции отклика предназначен для получения ее математической модели в виде уравнения регрессии
где В1, …, Вm – некоторые коэффициенты; е – погрешность.
Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:
• планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;
• планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;
• планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);
• планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;
• планирование при изучении динамических процессов и т.д.
3.2. Представление результатов экспериментов
При использовании методов планирования эксперимента необходимо найти ответы на 4 вопроса:
• Какие сочетания факторов и сколько таких сочетаний необходимо взять для определения функции отклика?
• Как найти коэффициенты В0, В1, …, Bm?
• Как оценить точность представления функции отклика?
• Как использовать полученное представление для поиска оптимальных значений Y?
Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве Х1, Х2, …, Хn
При трех и более факторах задача становится неразрешимой. Если и будут найдены решения, то использовать совокупность выражений достаточно трудно, а часто и не реально.
Например, пусть необходимо исследовать влияние скорости v, плотности движущейся жидкости и диаметра трубопровода d на потери давления Р и расход жидкости Q при проектировании гидравлической сети. Если в диапазоне изменения каждого фактора взять хотя бы по шесть точек
то для того чтобы выполнить опыты при всех возможных сочетаниях значений факторов (их три) необходимо выполнить 63=216 опытов и сформировать по 62=36 функций отклика. Если мы хотим хотя бы продублировать опыты, чтобы снизить погрешность n, то число опытов пропорционально возрастает, поэтому произвольное выполнение опытов при числе факторов более двух и использование их результатов – практически нереально.
3.3. Разложение функции отклика в степенной ряд, кодирование факторов
Если заранее не известно аналитическое выражение функции отклика, то можно рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например, в степенной ряд в виде полинома
Разложение в степенной ряд функции возможно в том случае, если сама функция является непрерывной. На практике обычно ограничиваются числом членов степенного ряда и аппроксимируют функцию полиномом некоторой степени.
Факторы могут иметь разные размерности (А, В, Вт, об/мин) и резко отличаться количественно. В теории планирования эксперимента используют кодирование факторов. 
Эта операция заключается в выборе нового масштаба для кодированных факторов (рис. 4.3), причем такого, чтобы минимальное значение кодированных факторов соответствовало “-1”, а максимальное значение “+1”, а также в переносе начала координат в точку с координатами 
Текущее значение кодированного фактора,
(1)
где Хi – именованное (абсолютное) значение фактора; xi –кодированное значение фактора; 
- интервал варьирования фактора.
Граница совместимости факторов указана на рис. 4.3 в виде кривой линии.
Если фактор изменяется дискретно, например, он является качественным, то каждому уровню этого кодированного фактора присваиваются числа в диапазоне от +1 до –1. Так при двух уровнях это +1 и –1, при трех уровнях +1, 0, -1 и т.д.
Функция отклика может быть выражена через кодированные факторы 
и записана в полиномиальном виде 
…. (2)
Очевидно, что 
, но
Для полинома, записанного в кодированных факторах, степень влияния факторов или их сочетаний на функцию отклика определяется величиной их коэффициента bi. Для полинома в именованных факторах величина коэффициента Вi еще не говорит однозначно о степени влияния этого фактора или их сочетаний на функцию отклика.
3.4 Задача определения коэффициентов уравнения регрессии.
Для определения m+1 коэффициента полинома необходимо не менее m+1 уравнений (опытов). Полученные коэффициенты B позволяют сформировать уравнение функции отклика при m+1 членах уравнения. Если точность этого уравнения оказалась недостаточной, то требуется взять уравнение с большим числом членов и начать все заново так как все коэффициенты B оказываются зависимыми друг от друга. Это возникает при использовании пассивного эксперимента. Однако если целенаправленно использовать активный эксперимент и особым образом построить матрицу сочетаний факторов в опытах Х, использовать планирование эксперимента, то коэффициенты полинома определяются независимо друг от друга.
Стратегия применения планов заключается в принципе постепенного планирования – постепенного усложнения модели. Начинают с простейшей модели, находятся для нее коэффициенты, определяется ее точность. Если точность не удовлетворяет, то планирование и модель постепенно усложняются.
3.5. Полный факторный эксперимент
Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). При двух уровнях имеем ПФЭ типа 2к. Число опытов для данного случая будет равно N = 2к
Условия эксперимента записываются в виде таблицы. Строки её соответствуют различным опытам (вектор-строка), столбцы -значениям факторов в кодированном виде (вектор-столбцы). Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента
(МПЭ).
Составим МПЭ для двумерной модели на двух уровнях 22 (табл.4.1). Число опытов N=22=4.
План эксперимента можно представить геометрически (рис.4.4.).
Для плана 22 каждая комбинация факторов представляет собой вершину квадрата.
В области определения факторов находят точку соответствующую основному уровню, через эту точку проводят новые оси координат, параллельно осям натуральных значений факторов. Затем выбирают масштабы по новым осям для каждого
фактора согласно выражению (1).
В матрицу ПФЭ вводится фиктивный столбец x0 для учета свободного члена β0.
Коэффициенты β0,β1,β2 оцениваются согласно выражений
3.6. Выбор модели при проведении полного факторного эксперимента
Планируя эксперимент на первом этапе, всегда стремятся получить линейную модель. Для двух факторов модель представляют в виде выражения (2). Однако не всегда экспериментатор имеет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью. Часто встречающийся вид нелинейности связан с эффектом взаимодействия между факторами.
ПФЭ позволяет оценить кроме коэффициентов при линейных эффектах коэффициенты взаимодействия. Для этого перемножают соответствующие столбцы. Тогда уравнение принимает вид
Матрица полнофакторного эксперимента с учетом фактора взаимодействия для ПФЭ 22 показана в табл.4.2.
Коэффициенты уравнений регрессии оцениваются следующим образом:
По столбцам x1 и x2 осуществляют планирование, что же касается столбцов, x0 и x1x2,то они служат только для расчета.
Нахождение модели методом ПФЭ состоит из следующих этапов:
• Выбор модели
• Планирование эксперимента
• Экспериментирование.
• Проверка однородности дисперсии (воспроизводимости).
• Проверка значимости коэффициентов.
• Проверка адекватности модели.
При составлении матрицы ПФЭ руководствуются следующими правилами:
• располагают, если имеется соответствующая информация, факторы в матрице в порядке убывания степени их влияния на целую функцию;
• стремятся выполнить требования рандомизации варьирования уровней;
• при составлении матрицы уменьшают частоту чередования уровней при переходе от x1 к x2, от x2 к x3 и т.д. каждый раз вдвое.
Рассмотрим пример составления МПЭ для трех факторного полного эксперимента. В качестве уравнения регрессии берем неполную квадратичную модель.
Введем обозначение переменных x через z, тогда
Составим МПЭ. N = 23 = 8(табл. 4.3).
В зависимости от соотношения от числа неизвестных коэффициентов уравнения регрессии числа строк в плане ПФЭ 2n может являться насыщенным, при выборе числа членов уравнения m+1=N, ненасыщенным, при выборе числа членов уравнения и соответственно числа столбцов плана m+1<N и сверхнасыщенным m+1>N.
3.7. Дробный факторный эксперимент
Во многих реальных процессах некоторые факторы взаимодействия могут отсутствовать. И тогда ПФЭ будет обладать избыточностью опытов. Рассмотрим пути минимизации числа опытов.
Обратимся к уравнению (2). Если мы располагаем сведениями о том, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента b0,b1,b2. В результате остается одна степень свободы, т.к. имеем четыре опыта, а количество констант три. Используем эту степень свободы для минимизации числа опытов. При линейном приближении b12 →0 и тогда вектор-столбец х1х2 может быть использован для нового фактора х3.
При этом эксперименте появляются смешанные оценки
т.е. столбцы.
Пример. Допустим х1 и х2х3 между собой неразличимы. Однако парные взаимодействия в линейной модели незначительны. Зато вместо восьми опытов для изучения влияния трех факторов можно поставить только четыре опыта, т.е. вместо ПФЭ 23 мы имеем 23-1. В теории эксперимента 23-1 называют полурепликой. В общем случае имеют дело с дробной репликой. А факторный эксперимент называют дробным (ДФЭ). Для составления МПЭ ДФЭ вводится понятие определяющего контраста, который позволяет определить какие оценки смешаны друг с другом, не изучая МПЭ для выявления совпадающих столбцов.
Для этого используется символичное обозначение произведения столбцов равного +1 или -1. Это и называют контрастом. Чтобы определить какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий
данному эффекту.