Чистый прямой изгиб призматического бруса

ИЗГИБ

 

Плоский изгиб волокна

 

Рассмотрим волокно ab, параллельное оси х. В результате изгиба прямое волокно искривляется (рис.10.1, а). Изгиб волокна сопровождается попереч-ными перемещениями (прогиба-ми) v и уг­лами поворота (девиа-циями) его линейных элемен-тов. Углы – углы наклона каса-тельных к искривленному волок-ну.

При малых перемещениях длина хорды волокна l ₁ мало

Рис. 10.1 отличается от первоначальной длины волокна l. Поэтому можно при­нять l ₁= l, т.е. пренебречь продольными перемещениями u (рис.10.1, б). В то же время длина искривленного волокна счита­ется равной длине первоначального прямолинейного волокна.

В пределах малых перемещений допустимо считать ≈tg и принять = dv / dx.

Поперечные сечения волокна сохраняют прямые углы с касательными к оси волокна после его деформирования. Поэтому углы характеризуют в то же время повороты поперечных сечений. Вслед­ствие их неодинаковости образуются взаимные повороты с углами . Отношение к отрезку кривой ∆s между сечениями определяет среднюю кривизну изгиба в точке

k_xm = ∆ /∆s.

При малых углах поворота (∆s ≈ ∆x)

k_xm = ∆ /∆x.

Устремляя ∆s и ∆x к ну­лю, в пределе получаем

k_x= d /ds и k_x= d /dx

(точное и приближенное значения кривизны изгиба в точке).

Очевидно, что

.

Имеется другое определение кривизны: k_x= 1 / ρ – 1 /r ₀, где r ₀(ρ) – радиус кривизны до (после) деформирования волокна. Для прямого волокна r ₀ = ∞ и k_x= 1/ρ.

Из дифференциальной геометрии известно, что

 

 

При малых углах поворота ( = dv/dx) величиной (dv/dx)² можно пренебречь по сравнению с единицей. Тогда

1/ρ ≈ d ² v/dx ².

Итак, формула k_x = d ² v/dx ² дает приближенное значение кри­визны при изгибе.

Величины v, и k_x характеризуют изгиб волокна. Если за основную величину принять k_x, то другие характеристики можно получить с помощью интегрирования:

или

 

C ₁ и C ₂ находятся из граничных условий для прогибов и углов поворота. Их смысл легко обнаружить, если положить k_x = 0. Тог­да С ₂ +C ₁ x – уравнение прямой линии, в котором С ₂ – поперечное поступательное перемещение линии, а С ₁ – ее поворот.

Установим связь между характеристиками изгиба волокна и компонентами деформации в точке. Рассмотрим изгиб волокна, па­раллельного оси х, с бесконечно малым поперечным сечением dz x dy (рис. 10.3). Пусть в точке С линейная деформация равна ε _x, а в точке А – ε _x+(∂ ε _x / ∂у)dу.

 

Рис.10.2 Рис.10.3

Взаимный поворот линейных элементов АС и BD равен

 

Кривизна волокна

Знак минус поставлен для согласования положительной кривизны и отрицательной производной ∂ ε _x / ∂y.

 

Чистый прямой изгиб призматического бруса

 

Задаются следующие условия: 1) волокна, параллельные оси бруса, испытывают равномерное растяжение или сжатие, перемен­ное по высоте сечения; 2) деформации сдвига, касательные напря­жения, поперечные силы и крутящий момент равны нулю; 3) сече­ния, плоские и нормальные к оси бруса до изгиба, остаются и после изгиба плоскими и нормальными к изогнутой оси бруса (ги­потеза плоских сечений); следовательно, все волокна имеют об­щий взаимный угол поворота поперечных сечений и общий центр кривизны (рис.10.3); dv/dx = k_x = const, хотя точные значения кривизны 1/ρ дуг концентрических окружностей неодинаковы; 4) физический закон − закон Гука для одноосного напряженного состояния; 5) из трех внутренних усилий, связанных с нормальны­ми напряжениями, задана величина M_z; N = 0; M_y = 0.

Для определения характеристик изогнутого бруса k_х, ε _х, σ _х и u имеем следующие зависимости:

k_х= d²v / dx², k_x= –∂ ε _х / ∂y, σ _х=E ε _х.

За основное неизвестное принимаем k_х. Так как ε _х – функция одной переменной у, то

k_x= – d ε _х / dy.

Следовательно,

Совместим границу между растянутыми и сжатыми волокнами (нейтральный слой) с координатной плоскостью у = 0, т.е. поло­жим ε _х = 0 при у = 0. В таком случае С = 0 и

ε _х = –k_xy.

Согласно физическому закону

σ _х = –Ek_xy.

В результате подстановки σ _х в интегральные формулы для внутренних усилий получаем

В правой части третьей формулы принят плюс, так как в данном случае изгибающий момент и кривизна имеют одинаковые знаки.

В первой формуле интеграл выражает статический момент площади сечения относительно оси z. Равенство его нулю свидетельствует о том, что ось z, в точках которой ε _х = 0, про­ходит через центр тяжести сечения. Согласно физическому закону на этой оси σ _х = 0. Следовательно, ось z есть линия нулевых на­пряжений при изгибе в плоскости ху. Она называется нейтральной осью сечения (нулевой линией). По обе стороны от нее нормаль­ные напряжения имеют противоположные знаки и нарастают по еди­ному линейному закону, образуя зоны растяжения и сжатия.

Во второй формуле интеграл выражает центробежный момент инерции сечения относительно осей у и z. Равенство его нулю свидетельствует о том, что оси у и z – главные оси инер­ции сечения.

Таким образом, определение оси z как главной центральной оси инерции сечения вносит ясность в расположение нейтрального слоя, который был совмещен с координатной плоскостью у = 0, и в ориентацию плоскости действия момента M_z, перпендикулярной оси z и естественным образом проходящей через вторую главную ось – у (признак прямого изгиба).

Переписав третью интегральную формулу в виде

M_z = Ek_xI_z,

где I_z – осевой момент инерции площади сечения, находим

k_x = M_z /(EI_z).

Окончательные выражения деформаций и напряжений имеют следую­щий вид:

ε _х = – (М_zу)/(EI_z), σ _х = – (М_zу)/ I_z.

Минус поставлен для согласования знаков линейной деформации (напряжения) и изгибающего момента. При у > 0 положительному мо­менту соответствует отрицательное значение деформации (напря­жения).

Пренебрежение влиянием поперечных деформаций ε _y = ε _z = – v ε _x на прогибы равносильно принятию для всех волокон прогибов, присущих нейтральному осевому волокну.

Приравнивая правые части k_x=d ² v/dx ²и k_х=М_z /(EI_z), по­лучаем дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса:

d ² v/dx ² = М_z /(EI_z).

Его интегралы:

При М_z = const и I_z = const получаем

С ₁, и С ₂ находятся из граничных условий для v и .

Следует обратить внимание на то, что волокно изгибается по параболе, а не по дуге окружности. Такой результат согласу­ется с исходным условием и является следствием использования не точного, а приближенного выражения кривизны изги­ба.

Анализ полученного решения приво­дит к следующим выводам:

1. Напряжения σ _х не меняют своего закона по длине бруса и являются функ­цией только координаты у. На торцах на основании статического граничного ус­ловия они трансформируются в распреде­ленную по закону пло-скости нагрузку X_p (рис.10.4), которая и соответствует

Рис.10.4 рассмотренной деформации чистого изгиба. Независи-мость σ _х от х справедлива при I_z = const. Таким образом, чистый изгиб возмо-жен лишь в случае призматического бруса.

2. Кривизна и деформация обратно пропорциональны величине ЕI_z, называемой жесткостью при изгибе.

Поперечный изгиб

Силы, действующие перпендикулярно к оси бруса и располо­женные в плос-кости, проходящей через эту ось, вызывают дефор­мацию, называемую попереч-ным изгибом. Если плоскость действия упомянутых сил – главная плоскость, то имеет место прямой (плоский) поперечный изгиб. В противном случае изгиб называет­ся косым поперечным. Брус, подверженный преимущественно из­гибу, называется балкой ¹.

По существу поперечный изгиб есть сочетание чистого изги­ба и сдвига. В связи с искривлением поперечных сечений из-за неравномерности распределе-ния сдвигов по высоте возникает вопрос о возможности применения формулы нормального напряжения σ _х, выведенной для чистого изгиба на основании гипотезы плоских сечений.

 

 

.

¹Однопролетная балка, имеющая по концам соответственно одну цилиндрическую неподвижную опору и одну цилиндрическую подвижную в направлении оси балки, называется простой. Балка с одним защемленным и другим свободным концом называется консолью. Простая балка, имеющая одну или две части, свешивающиеся за опору, называется консольной.

Если, кроме того, сечения взяты далеко от мест приложения нагрузки (на расстоянии, не меньшем половины высоты сечения бруса), то можно, как и в случае чистого изгиба, считать, что волокна не оказывают давления друг на друга. Значит, каждое волокно испытывает одноосное растяжение или сжатие.

При действии распределенной нагрузки поперечные силы в двух смежных сечениях будут отличаться на величину, рав­ную qdx. Поэтому искривления сечений будут также несколько отличаться. Кроме того, волокна будут оказывать давление друг на друга. Тщательное исследование вопроса показывает, что если длина бруса l достаточно велика по сравнению с его высотой h (l / h > 5), то и при распределенной нагрузке указанные факторы не оказывают существенного влияния на нормальные напряжения в поперечном сечении и потому в практических расчетах могут не учитываться.

а б в

Рис. 10.5 Рис. 10.6

 

В сечениях под сосредоточенными грузами и вблизи них распределение σ _х отклоняется от линейного закона. Это отклонение, носящее местный характер и не сопровождающееся увеличением наибольших напряжений (в крайних волокнах), на практике обычно не принимают во внимание.

Таким образом, при поперечном изгибе (в плоскости ху) нор­мальные напряжения вычисляются по формуле

σ _х = – [ М_z (x)/ I_z ] y.

Если проведем два смежных сечения на участке бруса, свободном от нагрузки, то поперечная сила в обоих сечениях будет одинакова, а значит, одинаково и искривление сечений. При этом какой-либо отрезок волокна ab (рис.10.5) переместится в новое положение a'b', не претерпев дополнительного удлинения, и следовательно, не меняя величину нормального напряжения.

Определим касательные напряжения в поперечном сечении через парные им напряжения, действующие в продольном сечении бруса.

Выделим из бруса элемент длиной dx (рис. 10.7 а). Проведём горизонта-льное сечение на расстоянии у от нейтральной оси z, разделившее элемент на две части (рис. 10.7) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основа-

Рис.10.7

ние шириной b. В соответствии с законом парности касательных напряжений, напряжения действующие в продольном сечении равны напряжениям, действующим в поперечном сечении. С учётом этого в предположении о том, что касательные напряжения в площадке b распределены равномерно ис-пользуем условие ΣХ = 0, получим:

N^*- (N^*+dN^*)+

откуда

где: N^*- равнодействующая нормальных сил σ в левом поперечном сече-нии элемента dx в пределах “отсечённой” площадки А^* (рис. 10.7 г):

N^*=

где: S = - статический момент “отсечённой” части поперечного сече-ния (заштрихованная площадь на рис. 10.7 в). Следовательно, можно записать:

N^*=

откуда

dN^*=

Тогда можно записать:

Эта формула была получена в XIX веке русским ученым и инженером Д.И. Журавским и носит его имя. И хотя эта формула приближенная, так как усредняет напряжение по ширине сечения, но полученные результаты расчета по ней, неплохо согласуются с экспериментальными данными.

Для того, чтобы определить касательные напряжения в произвольной точке сечения отстоящей на расстоянии y от оси z следует:

- определить из эпюры величину поперечной силы Q, действующей в сечении;

- вычислить момент инерции I_z всего сечения;

- провести через эту точку плоскость параллельную плоскости xz и определить ширину сечения b;

- вычислить статический момент отсеченной площади S относительно главной центральной оси z и подставить найденные величины в формулу Жура-вского.

Определим в качестве примера касательные напряжения в прямоуголь-ном поперечном сечении (рис. 10.6, в). Статический момент относительно оси z части сечения выше линии 1-1, на которой определяется напряжения запишем в виде:

S =A^* =b

Он изменяется по закону квадратной параболы. Ширина сечения в для прямоугольного бруса постоянна, то параболическим будет и закон изменения касательных напряжений в сечении (рис.10.6, в). При y = и у = − каса-тельные напряжения равны нулю, а на нейтральной оси z они достигают наибольшего значения.

Для балки круглого поперечного сечения на нейтральной оси имеем:

τ_мах =1.33