Приведение пространственной системы сил к данному центру

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

Пусть на тело действует произвольная система сил , , …, , расположенных в пространстве (рис. 1, а). Возьмем произвольную точку , которую назовем центром приведения, и по аналогии, как и для плоской системы, приведем все эти силы к центру (рис. 1, б). В результате в центре получаем:

· систему сходящихся сил, складывая которые получаем главный вектор системы ;

· пространственную систему присоединенных пар, вектора-моменты которых равны:

, , …, ;

Сложим геометрически вектора-моменты присоединенных пар. В результате система пар заменится одной парой, вектор-момент которой будет равен

или .

Величина , равная геометрической сумме векторов-моментов всех сил относительно центра , называется главным моментом системы сил относительно этого центра.

рис. 1

Определим проекции этих двух векторов на координатные оси:

Направление главного вектора определяют направляющие косинусы:

, ,

Направление главного момента определяют направляющие косинусы: .

Рассмотрим теперь, к каким простейшим видам можно привести пространственную систему сил.

1. Если для данной системы сил , а , то она приводится к одной паре с моментом . Причем в этом случае величина не зависит от центра приведения, так как иначе мы получили бы, что одна и та же система сил заменяется разными, неэквивалентными друг другу, парами, что невозможно.

2. Если для данной системы сил , то здесь появляются следующие варианты приведения:

а) , . В этом случае система сразу заменяется равнодействующей, которая в данном варианте будет равна главному вектору системы и проходит через точку ;

б) , и . В этом случае система также заменяется равнодействующей, которая будет равна главному вектору системы, но проходить она будет не через точку , а через точку . Определим положение точки . Пусть система приводится к главному вектору и главному моменту относительно центра (рис. 2, а).

Пару сил изобразим силами и , причем эти силы подбираем таким образом, чтобы выполнялись равенства: , (рис. 2, б). Затем отбрасываем силы и как уравновешенные и получаем, что система заменяется равнодействующей , но проходящей через точку (рис. 7.2, Положение точки определится соотношением .

рис. 2

3. Приведение к динамическому винту. Если в результате приведения системы получили главный вектор и главный момент, причем угол между ними либо , либо , т.е. эти вектора коллинеарные, то такая система называется динамическим винтом.

Покажем, что если угол , то систему всегда можно привести к динамическому винту. Рассмотрим такой случай (рис. 3, а). Разложим на две взаимно перпендикулярные составляющие: , которая направлена, перпендикулярна плоскости , и , которая лежит в плоскости .

рис. 3

Заменяя вектора и по процедуре, описанной ранее, получаем вектор , но проходящий не через точку , а через точку (рис. 3, б). Вектор можно свободно переносить в плоскости , используя свойства пар сил. Поэтому переносим параллельно самому себе в точку . В результате получаем два коллинеарных вектора и , которые и образуют динамический винт (рис. 3, в).

4. Приведение к равновесию. Если для данной системы сил и , то она находится в равновесии.

, , ,

, , .

Получили шесть условий равновесия: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из координатных осей, а также суммы моментов этих сил относительно каждой из координатных осей были равны нулю.

Задача.

Дано. Прямоугольная дверь , имеющая вертикальную ось вращения , открыта на угол и удерживается в этом положении двумя веревками, из которых одна, , перекинута через блок и натягивается грузом , а другая, , привязана к точке пола. Вес двери , ее размеры – ширина , высота . Пренебрегая трением на блоке, определить натяжение веревки , а также реакции цилиндрического шарнира в точке и подпятника в точке .

Решение. Делаем переход от общего вида (рис. 4, а) к расчетной схеме (рис. 4, б). Выделяем в рассмотрение дверь , показывая активные силы и реакции со стороны отброшенных связей. В точке стоит опора – подпятник, который препятствует любому отрыву двери от оси вращения, т.е. составляющие реакции будут направлены вдоль осей . В точке реакции будут направлены только вдоль осей и , так как при желании дверь можно снимать с петель. Кроме того, для пространственных схем выбор осей координат имеет важное значение при составлении условий равновесия. Исходя из свойств момента силы относительно оси, сила не будет создавать момент относительно оси, если она пересекает ось либо ей параллельна.

Таким образом, оси лучше проводить так, чтобы как можно больше сил пересекало эти оси либо были им параллельны.

рис. 4

Учитываем, что , и угол , значит, треугольник – равносторонний. Тогда условия равновесия:

, ,

, .

Теперь рассмотрим уравнения моментов. Относительно оси моменты не будут создавать силы , , , , , так как они по отношению к ней либо параллельны, либо пересекают ось .