Тема 2.2 Занятие 3: Резонанс в электрических цепях. Резонанс напряжений. Резонанс токов.

1. Резонанс напряжений

2. Резонанс токов

 

Пусть электрическая цепь содержит одну или несколько индуктивностей и емкостей (рис. 1). Под резонансным режимом работы цепи понимают режим, при котором сопротивление является чисто активным. По отношению к источнику питания элементы цепи ведут себя в резонансном режиме как активное сопротивление, поэтому ток и напряжение в неразветвленной части совпадают по фазе. Реактивная мощность цепи при этом равна нулю.

Различают два основных режима: резонанс напряжений и резонанс токов.

Рис.1 Резонансный режимом работы цепи	Рис.2 Схема последовательного колебательного контура

 

1. Резонансом напряжений называют явление в цепи с последовательным контуром, когда ток в цепи совпадает по фазе с напряжением источника.

На рис. 2 показана схема последовательного колебательного контура.

Найдем условие резонанса напряжений. Для того чтобы ток цепи совпадал по фазе с напряжением, реактивное сопротивление должно быть равно нулю, так как .

Таким образом, условием резонанса напряжений является Х=0 или X_L=X_C. Но , а , где f – частота источника питания. В результате можно записать

.

Решив это уравнение относительно f, получим

При резонансе напряжений частота источника равна собственной частоте колебаний контура.

Выражение является формулой Томсона, определяющей зависимость собственной частоты колебаний контура f₀ от параметров L и С. Следует вспомнить, что если конденсатор контура зарядить от источника постоянного тока, а затем замкнуть его на индуктивную катушку, то в контуре возникнет переменный ток частоты f₀. Вследствие потерь колеба­ния в контуре будут затухать, причем время затухания зависит от значения возникших потерь.

Резонансу напряжений соответствует векторная диаграмма, приведенная на рис. 3. На основании этой диаграммы и закона Ома для цепи, с R, L и С сформулируем признаки резонанса напряжений:

а) сопротивление цепи Z=R минимальное и чисто активное;

б) ток цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает максимального значения;

в) напряжение на индуктивной катушке равно напряжению на конденсаторе и каждое в отдельности может во много раз превышать напряжение на зажимах цепи.

Рис.3 Векторная диаграмма при резонансе напряжений	Рис.4 Резонансная кривая последовательного контура

Физически это объясняется тем, что напряжение источника при резонансе идет только на покрытие потерь в контуре. Напряжение на катушке и конденса­торе обусловлено накопленной в них энергией, значение которой тем больше, чем меньше потери в цепи. Количественно указанное явление характеризуется добротностью контура Q, которая представляет собой отношение напряжения на катушке или конденсаторе к напряжению на зажимах цепи при резонансе: Q=U_L/U=U_L/U_R=IX_L/(IR)=X_L/R=X_C/R.

При резонансе .

Величину L/C=Z_в, называют волновым сопротивлением контура.

Таким образом, Q=Z_в/R.

Способность колебательного контура выделять токи резонансных частот и ослаблять токи других частот характеризуется резонансной кривой (рис. 4).

Резонансная кривая показывает зависимость действующего значения тока в контуре от частоты источника при неизменной собственной частоте контура.

Эта зависимость определяется законом Ома для цепи с R, L и С. Действительно, I=U/Z, где .

При низких и высоких частотах реактивное сопротивление велико и ток в контуре мал. При частотах, близких к f₀, реактивное сопротивление мало и ток контура велик. При этом, чем больше добротность контура Q, тем острее резонансная кривая контура.

Резонанс напряжений широко используется в радиотехнике и электронике для выделения сигналов заданной частоты.

2. Резонансом токов называют такое явление в цепи с параллельным колебательным контуром, когда ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника.

На рис. 5 представлена схема параллельного колебательного контура. Сопротивление R в индуктивной ветви обусловлено тепловыми потерями на активном сопротивлении катушки. Потерями в емкостной ветви можно пренебречь.

Рис.5 Схема параллельного колебательного контура	Рис.6 Векторная диаграмма при резонансе токов

Найдем условие резонанса токов. Согласно определению, ток совпадает по фазе с напряжением U. Следовательно, проводимость контура должна быть чисто активной, а реактивная проводимость равна нулю: В=В₁+В₂=0,

где В₁=В_L=Х_L/(R²+Х_L²); В₂=-В_C=-1/Х_C.

Условием резонанса токов является равенство нулю реактивной проводимости контура.

Для выяснения признаков резонанса токов построим векторную диаграмму.

Для того чтобы ток I в неразветвленной части цепи совпадал по фазе с напряжением, реактивная составляющая тока индуктивной ветви I_Lp должна быть равна по модулю току емкостной ветви I_C (рис. 6). Активная составляющая тока индуктивной ветви I_La оказывается равной току источника I. Определим сопротивление контура в предположении R<<X_L.

Так как сопротивление контура Z_к=1/Y_к, найдем сначала Y_к. Согласно выражению Y_к=G₁+G₂ поскольку В₁+В₂=0, но G₂=0 ввиду того, что потери в емкостной ветви пренебрежимо малы. Таким обра­зом,

В этом случае частота, при которой наступает ре­зонанс токов, практически совпадает с собственной частотой контура и, следовательно,

Окончательно имеем

Сформулируем признаки резонанса токов:

а) сопротивление контура Z_к максимальное и чисто активное;

б) ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает практически минимального значения;

в) реактивная составляющая тока в катушке равна емкостному току, причем эти токи могут во много раз превышать ток источника.

Физически это объясняется тем, что при малых потерях в контуре (при малом R) ток источника требуется только для покрытия этих потерь. Ток в кон­туре обусловлен обменом энергией между катушкой и конденсатором. В идеальном случае (контур без по­терь) ток источника отсутствует.

В заключение необходимо отметить, что явление резонанса токов сложнее и многообразнее явления резонанса напряжений. Фактически был рассмотрен только частный случай радиотехнического резонанса.