Теория вероятностей (продолжение)

Пример решения задачи

Восстановите сводную таблицу распределения данных измерения по следующей информации:

	варианта	сумма
№1	№2	№3	№4
кратность		х	у	х + у
частота
частота, %		23*х - 23	у - у - 70

 

а) найдите х;

б) найдите у;

в) найдите моду этого распределения.

Решение.

Вспомним формулы:

ЧАСТОТА ВАРИАНТЫ=

 

ЧАСТОТА ВАРИАНТЫ, В %= * 100%

 

В последнем столбце сумма частот всегда равна 1, а сумма частот в процентах всегда равна 100. Правильнее всего начинать восстановление информации с того столбца, в котором уже заполнено больше всего клеток – в данном случае с варианты №1 и №2. Всего было 50 результатов. Частота этой варианты равна х/50, а процентная частота в сто раз больше частоты, то есть равна 2*х. Получаем:

 

частота варианты, в % = (частота варианты)*100 = 23*х – 23 = 2*х.

 

То есть 23*х – 23 = 2*х. Решив это уравнение, получаем х = 5.

Аналогично, решаем для варианты №2:

 

частота варианты, в % = (частота варианты)*100 = у - у - 70 = 2*у.

Решая уравнение у - у - 70 = 2*у, получаем: у = 10.

Восстанавливаем остальные неизвестные величины.

Получаем заполненную таблицу:

 

	варианта	сумма
№1	№2	№3	№4
кратность
частота	0,4	0,1	0,2	0,3
частота, %

Задача для самостоятельного решения:

1. Восстановите сводную таблицу распределения данных измерения по следующей информации:

 

	варианта	сумма
№1	№2	№3	№4
кратность		2*к		4*к
частота
частота, %	3*к	к – 7*к - 33

 

2. Изменение численности работающих на некотором предприятии характеризуется следующими данными:

годы	численность работающих человек

По этим данным:

а) построить сгруппированный ряд численности работающих человек;

б) определить моду, медиану, размах, среднее ряда численности работающих человек;

в) построить многоугольник распределения численности работающих человек;

г) гистограмму распределения численности работающих человек.

 

ВНИМАНИЕ. В предыдущей лекции ошибка. Очевидно, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице (а не нулю).

Теория вероятностей (продолжение)

Итак, сумма вероятностей противоположных событий равна единице, то есть:

 

Р(А) + Р() = 1

где Р(А) – вероятность события А, а Р() – вероятность противоположного ему события .

Рассмотрим пример:

Пример. Ученику предложили написать на доске любое двузначное число. Найти вероятность того, что это число:

а) не оканчивается нулём;

б) состоит из различных цифр;

в) не является квадратом целого числа;

г) не делится на 17.

Решение. Всего имеется 90 двузначных чисел (от 10 до 99), то есть в данном случае N = 90.

а) пусть А – интересующее нас событие, а - противоположное ему событие; событие состоитв том, что число оканчивается нулём, таких чисел девять: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90; значит N() = 9,

Р() = N()/ N = 9/90 = 0.1 и Р(А) = 1 - Р() = 0.9.

б) пусть А – интересующее нас событие, а - противоположное ему событие. Оно состоит в том, что число состоит из одинаковых цифр; таких чисел ровно девять: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88. 99; значит, N() = 9,

Р() = N()/ N = 9/90 = 0.1 и Р(А) = 1 - Р() = 0.9.

в) следует найтиР(), где событие А состоит в том, что число является квадратом целого числа; таких двузначных чисел шесть: 16, 25. 36, 49, 64, 81; значит: N(А) = 6; Р(А) = 6/90 = 1/15; Р() = 1 – Р(А) = 14/15.

г) следует найти Р(), где событие А состоит в том, что делится на 17; таких чисел пять: 17, 34, 51, 68, 85; значит, N(А) = 5; Р(А) = 5/90 = 1/18; Р() = 1 – Р(А) = 17/18.

Ответ: а) 0,9; б) 0,9; в) 14/15; г) 17/18.

Однако, существует множество задач, в которых очень непросто найти количество случаев, в которых наступает интересующее нас событие или общее количество событий при данном испытании. Часто в таких случаях применяют формулы комбинаторики.

Формулы комбинаторики

Введём определение: произведение подряд идущих первых п натуральных чисел обозначают п! и называют «эн факториал»:

Значения п! очень быстро возрастают с увеличением п:

1! = 1;

2! = 1*2 = 2;

3! = 1*2*3 = 6;

4! = 1*2*3*4 = 24;

5! = 1*2*3*4*5 = 120;

6! = 1*2*3*4*5*6 = 720;

7! = 1* 2*3*4*5*6*7 = 5040;

8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320;

9! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 362880;

10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3628800.

Число перестановок из п различных элементов

= п!. п различных элементов можно расставить по одному на п различных мест п! способами.

Пример. К хозяину дома пришли гости А, В, С, Д, За круглым столом – 5 разных стульев.

а) сколькими способами можно рассадить гостей за столом;

б) сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если место хозяина уже занято;

в) сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если гостя С следует посадить рядом с гостем А;

г) сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если известно, что гостя А не следует сажать рядом с гостем Д.

Решение. а) на 5 стульев должны сесть 5 человек. Значит всего имеется способов их рассаживания: = 5! = 120;

б) так как место хозяина фиксировано, то следует рассадить четырёх гостей на четыре места. Это можно сделать = 4! = 24 способами;

в) сначала выберем место для гостя А. Возможны 5 вариантов. если место А известно, то гостя С следует посадить или справа или слева от А, всего 2 варианта. После того как места для А и С выбраны, нужно трёх человек произвольно рассадить на 3 оставшиеся места: = 3! = 6. остаётся применить правило умножения: 5*2*6 = 60.

г) решение такое же, как в пункте в). Место для гостя Д после выбора места для А можно также выбрать двумя способами: на два отдалённых от А стула.

Ответ: а) 120; б) 24; в) 60; г) 60.

Число сочетан ий из п элементов по к и число размещений из п элементов по к

Число всех выборов к элементов из п данных без учёта порядка называют числом сочетаний из п элементов по к и обозначают . Число всех выборов к элементов из п данных с учётом порядка называют число размещений из п элементов по к и обозначают .

Для любых натуральных чисел п и к, таких, что к меньше п, справедливы соотношения:

=

= / к!

=

Пример. В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую;

б) им следует спеть хором.

Решение. В случае а) порядок важен, а в случае б) – нет. Значит, в первом случае получим , во втором - .

а) = 27*26*25 = 17550;

б) = / 3! = 27*26*25/1*2*3 = 9*13*25 = 2925.

 

Заключение. Изучить материалы лекции.