· амплитуда у бывает с расстоянием по закону 
,
· средняя плотность потока энергии (т.е. интенсивность) убывает по закону 
,
где 
- коэффициент поглощения волны.
6. Принцип суперпозиции волн (табл. 4.2.3)
Принцип суперпозиции волн: в линейной среде волны распространяются независимо друг от друга, так что результирующее возмущение в какой–либо точке среды при распространении в ней нескольких волн равно сумме возмущений, соответствующих каждой из этих волн порознь.
Для смещений имеем 
;
для скорости частиц среды 
;
и для ускорения 
.
Несинусоидальную волну можно заменить эквивалентной ей суммой синусоидальных волн, т.е. представить ее в виде группы волн или волнового пакета. Совокупность значений частот этих синусоидальных волн называется спектром частот волны.
Простейшей группой волн является к вазисинусоидальная плоская волна, которая получается в результате наложения двух распространяющихся вдоль оси ОХ плоских волн с одинаковыми амплитудами и близкими по значению частотами и волновыми числами 
Эта волна о тличается от синусоидальной тем, что ее амплитуда является функцией времени и координат 
.
За скорость распространения этой несинусоидальной волны принимают скорость и перемещения точки М, в которой амплитуда А имеет какое- то фиксированное значение (А =0, А =2 А 0 и т.п.).
Точка М движется по закону 
т.е. 
.
Скорость и называется групповой скоростью волны.
7. Интерференция волн (табл. 4.2.4).
Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов называют когерентностью.
Волны являются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. Когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту.
При наложении в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн.
Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками S1 и S2 (рис. 2.3), колеблющимися с одинаковыми амплитудой А0, частотой ω и постоянной разностью фаз.
Согласно уравнению сферической волны 
Где r1, r2 расстояния от источника волн до выбранной точки В, k - волновое число,
φ1, φ2 – начальные фазы обеих сферических волн
Амплитуда результирующей волны в точке В(из сложения гармонических колебаний)
Так как для когерентных источников разность начальных фаз 
, то результат наложения двух волн в различных точках зависит от величины
- разность хода волн.
Условия интерференционного максимума и минимума:
В точках, где
· 
, (m=0,1,2,…) – наблюдается интерференционный максимум: амплитуда результирующего колебания 
· 
, (m=0,1,2,…) – наблюдается интерференционный минимум: амплитуда результирующего колебания 
m=0,1,2,.. – называется порядком интерференционного максимума или минимума.
Условия максимумаи минимума сводятся к тому, что 
- уравнение гиперболы с фокусами в точках S1 и S2.
Следовательно, геометрическое место точек, в которых наблюдается усиление или ослабление результирующего колебания, представляет собой семейство гипербол (см. рис. 223), отвечающих условию 
Между двумя интерференционными максимумами (на рис. 223 сплошные линии) находятся интерференционные минимумы (на рис. 223 штриховые линии).
8.Стоячие волны (табл. 4.2.5)..
Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической сумой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Частным случаем интерференции являются стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн еще и одинаковой поляризацией. Практически стоячие волны возникают при отражении от преград. Падающая на преграду и бегущая ей на встречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.
Когда в некоторой точке тела (в струне, в трубе) возникает колебательное движение, оно волнообразно распространяется до границ тела. Там энергия волны разделяется – часть её проникает в среду, окружающую тело (например, в воздух), часть остаётся в теле и обуславливает появление отражённой волны. Эта волна, распространяясь в теле, встречается с новыми волнами, движущимися к границе тела. В результате при наложении колебаний двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой образуется стоячая волна (рис.2.4).
Уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:
Сложим оба уравнения, получим
Это уравнение стоячей волны,
Чтобы упростить его, выберем
· начало отсчета х так, чтобы - разность (α2 – α1 ) стала равна нулю,
· начало отсчета t –так, чтобы сумма (α2 + α1 ) стала равна нулю.
· Заменим волновое число k значением k =2 π/λ,
Тогда уравнение стоячей волны примет вид
(2.12)
Это и есть уравнение стоячей волны.
Оно показывает, что все точки стоячей волны колеблются с одинаковой частотой, амплитуда зависит от х:
(2.13)
· В точках, где 
амплитуда колебаний максимальна и равна: А =2а. Эти точки – пучности стоячей волны, их координаты:
. (2.14)
· В точках, где 
амплитуда колебаний обращается в ноль. Эти точки называются узлами стоячей волны.
Точки среды, находящиеся в узлах колебаний не совершают, их координаты:
Узе, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х.
Таким образом, расстояние между двумя пучностями равно расстоянию между двумя узлами, и равно λ /2 бегущих волн. Эту величину называют длиной стоячей волны: 
. Расстояние между соседним узлом и пучностью стоячей волны равно 
. Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на λ/4.
Из выражения (2.13) видно, что амплитуда при переходе через нулевое значение меняет знак. Таким образом, фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на π, то есть точки, лежащие по разные стороны узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключённые между двумя узлами, колеблются в фазе.
На рис. 99.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия:
· 
Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения.
· Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода.
· Стрелками показаны скорости частиц.
Продифференцировав уравнение (2.12)
- один раз по t - найдем выражения для скорости частиц;
- описывает стоячую волну скорости
- другой раз по х - найдем выражения для деформации среды.
- описывает стоячую волну деформации среды.
На рис. 99.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смещения, скорости и деформации для моментов времени 0 и Т/4. Из графиков видно:
· узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения;
· узлы пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения.
· В то время как ξи ε достигают максимальных значений, 
обращается в нуль, и наоборот.
· Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где находятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.