Производная и дифференциал

Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1.1 Производная функции в точке

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х₀ , х₀ , и пусть х – произвольная точка из этой окрестности, отличная от х₀ . Отношение называют разностным отношением для функции f в точке х₀ . Очевидно, на это отношение можно смотреть как на функцию аргумента х, определенную в проколотой окрестности .

Определение. Если существует (т.е. если этот предел равен некоторому вещественному числу), то это число называют производной функции f в точке х₀.

Производную функции f в точке х₀ обозначают символами и .

Итак, по определению

,

если этот предел существует.

Укажем на одну из возможных интерпретаций введенного математического понятия. Рассмотрим движение материальной точки вдоль некоторой прямой. Обозначим через S(t) путь, пройденный точкой с момента начала движения t= 0 до момента t > 0. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени между моментами t₀ и t, 0 < < t₀ < t, равен S(t) - S(t₀). В механике отношение называют средней скоростью движения за промежуток времени между моментами t₀ и t, а - мгновенной скоростью движения в момент t₀ . Следовательно, в данном случае производная есть мгновенная скорость движения в момент t₀ . В более широком плане, если две переменные у и х связаны функциональной зависимостью y = f(x), то число характеризует “скорость” изменения переменной у относительно переменной х при х=х₀.

Разность х-х₀ будем называть приращением аргумента х в точке х₀ и обозначать через , а также через h: х - х₀ = = h. Разность f(x) – f(x₀) будем называть приращением функции f в точке х₀ и обозначать через , а также через (h). Так как х = =х₀ + = х₀ + h, можем записать

= ,. = ,

или:

= , == .

 

Таким образом, используя введенные выше термины производную можно определить как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Приведем примеры вычисления производной.

Пример 1. Пусть функция тождественно в некоторой окрестности точки х₀, х₀ , равна константе: Для всякого х, принадлещащего и отличного от х₀ = = 0; поэтому = 0, т.е. = 0.

Пример 2. Пусть f(x) = a , где a> 0, a ≠ 1. Вычислим , где х₀ - - любое вещественное число. Имеем: (h) = f(x₀+h) – f(x₀) = a - a = = a (a - 1). Значит, = = a = a lna.

Пример 3. Пусть f(x) = cosx, a х₀ - любое вещественное число. Тогда (h) = cos(x₀+h) - cosx₀ = - 2 sin(x₀+ sin . Отсюда:

= = - sin(x₀+ = - sinx₀ .

Пример 4. Пусть f(x) = sinx, a х₀ - любое вещественное число. Тогда (h) = sin(x₀+h) - sinx₀ = 2 cos(x₀+ sin . Отсюда:

= = cos(x₀+ = cosx₀ .

Пример 5. Пусть f(x) =х , где μ – некоторое вещественное число, а х₀ > 0. Имеем: (h) = f(x₀+h) – f(x₀) = (х₀+h) - х₀ = х₀ . Отсюда:

= = х₀ = μ х₀ .

Замечание. Если показатель μ таков, что функция f(x) =х определена и при отрицательных x (например, если μ ), то, повторив приведенные выше выкладки, получим для всякого x₀ < 0: = μ х₀ .

Производная существует не всегда.

Пример 6. Пусть f(x) = х . Эта функция определена на всей числовой оси, и в силу примера 5 и замечания к нему при всяком x₀ ≠ 0 = х₀ . Пусть теперь x₀ = 0. Найдем приращение функции в этой точке:

(h) = f( 0 +h) – f( 0 ) = ( 0 +h) - 0 =h . Cледовательно, = = . Таким образом, разностное отношение не имеет конечного предела, поэтому не существует.

Пример 7. Пусть f(x) = | х | = Найдем приращение функции в точке x₀ = 0: (h) = f( 0 +h) – f( 0 ) = |0+ h | - |0| = | h |. Отсюда:

= = 1; = = -1. Односторонние пределы различны, поэтому не существует, т.е. не существует.

 

1.2. Функции, дифференцируемые в точке

Определение. Функцию называют дифференцируемой в точке х₀, х₀ , если

1) определена в некоторой окрестности этой точки и

2) существует число А такое, что для приращения (h) функции в точке

х₀ справедлива асимптотическия формула:

(h) = Аh + o(h). (1)

Так как (h) = f(x₀+h) – f(x₀), то из (1) следует:

f(x₀+h) = f(x₀) + Аh + o(h) (2) Пусть х – произвольная точка из окрестности ; положим h = x – x₀. Тогда x = x₀ + +h и из (2) имеем:

f(x) = f(x₀) + А(x – x₀) + o(x – x₀) = А x+B+ o(x – x₀), где B = f(x₀) - А x₀. Таким образом, для функции f в окрестности справедливо асимптотическое представление f(x) = А x+B+ o(x – x₀), где А и В – некоторые числа. В общих чертах содержание этой формулы можно передать следующей фразой: в малой окрестности точки x₀ функция f(x) “ почти не отличается ” от функции l(x) = Ax+B. Это свойство дифференцируемой функции используется для упрощения решений мно- гих задач математического анализа, ибо позволяет заменить функцию f(x), которая может быть весьма сложным обьектом, функцией простейшей структуры l(x) = Ax+B.

Теорема 1. (Критерий дифференцируемости) Для того, чтобы функция f была дифференцируемой в точке х₀, х₀ , необходимо и достаточно, чтобы существовала производная .

► Необходимость. Пусть справедливо представление (1). Тогда

= =

Таким образом, существует и равна А.

Достаточность. Пусть существует = . Для h, достаточно малых по модулю, т.е. для определим функцию α(h):

 

Тогда для всех h можем записать равенство (h) = h + h α (h). Так как = , то α(h)→ 0 при h → 0. Отсюда: , т.е. h α (h) = o(h). Итак, для (h) справедливо представление (1), в котором А = , поэтому дифференцируема в точке х₀. ◄

Следствие 1. Если функция дифференцируема в точке х₀, то константа А в формуле (1) определяется единственным образом, а именно, А = .

Это равенство получено при доказательстве необходимости.

Следствие 2. Для приращения функции, дифференцируемой в точке х₀, при всех h, достаточно малых по модулю имеет место представление

(h) = h + h α (h), (3) где α (h) – некоторая функция, удовлетворяющая требованиям: α(h)→ 0 при h → 0 и α(0)= 0.

Равенство (3) получено при доказательстве достаточности.

Функции, рассмотренные в примерах 2,3 и 4 имеют производные в каждой точке х₀ ; в силу теоремы 1 эти функции дифференцируемы во всех точках числовой оси. Степенная функция f(x) =х , где μ – некоторое вещественное число, дифференцируема во всех точках х₀ , х₀ ≠0, в кото- рых она определена (см. пример 5 и замечание к нему). Функции f(x) = х и f(x) = | х | не имеют производных в точке х₀ = 0, значит, они не являяются дифференцируемыми в этой точке (см. примеры 5 и 7).

Теорема 2. (О непрерывности дифференцируемой функции)

Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в ней.

► Пусть функция f дифференцируема в точке х₀. Тогда справедливо представление (1), из которого следует: (h) → 0 при h → 0. В силу теоремы о приращении непрерывной функции (гл. 1, п. 5.1) функция f непрерывна в точке х₀ . ◄

Замечание. Согласно теореме 2 из дифференцируемости функции вытекает ее непрерывность. Обратное утверждение неверно: функция, непрерывная в точке, может оказаться не дифференцируемой в этой точке. Например, f(x) = | х | непрерывна в точке х₀ = 0, но не дифференцируема в ней (см. пример 7).

 

1.3. Теоремы, облегчающие вычисление производных

Теорема 3. (Об арифметических действиях с дифференцируемыми функциями) Пусть функции f и g дифференцируемы в точке х₀. Тогда:

1. функция F =f+g дифференцируемa в точке х₀ , причем

2. функция F =f g дифференцируемa в точке х₀ , причем

3. если , то функция F = дифференцируемa в точке х₀ ,

причем .

► Так как f и g дифференцируемы в точке х₀, то справедливы асимптотические формулы (см. (2)):

f(x₀+h) = f(x₀) + h + o(h);

g(x₀+h) = g(x₀) + h + o(h). (4)

1. Пусть F =f+g. Воспользовавшись формулами (4), получим:

Для приращения мы получили представление = Аh + o(h), в котором А = . Значит, F дифференцируема в точке х₀, причем =

2. Пусть F =f g. Воспользовавшись (4), получим:

Для приращения получено представление = Аh + o(h), в котором А = + Значит, F дифференцируема в точке х₀, причем

3. Пусть , а F = . Функция g д ифференцируема, и потому она непрерывна в точке х₀. В силу теоремы о сохранении знака непрерывной функции (гл.1. п.5.1) существует окрестность такая, что для любого х из этой окрестности . Следовательно, функция F определена в . Обозначим:

А = , и покажем, что справедливо представление (h) = Аh + o(h). Имеем:

(h) = Воспользовавшисьформулами (4), в числителе последней дроби получим:

Отсюда:

(h) = .

Обозначим: α(h) = . Очевидно, α(h)→ 0 при h → 0 и α(h). Теперь можем записать:

(h) = А (1 + α(h)) h + o(h) = Ah + Аhα (h) + o(h)). Но А α(h) h = o(h) и o(h)+ o(h)= o(h), поэтому (h) = Ah + o(h).

Значит, F дифференцируема и А = . ◄

Пример 8. Пусть f(x)= sinx, g(x) = cosx, F(x) = Воспользовавшись утверждением 3) доказанной теоремы, для всякого х₀, х₀ ≠ , где n – любое целое число, получим:

= Аналогичные выкладки в случае F(x) = и х₀, х₀ ≠ , где n – любое целое число, дадут: =

Теорема 4. (О производной сложной функции) Пусть функция f дифференцируема в точке х₀, а функция g дифференцируема в точке у₀, где у₀ = f(x₀). Тогда сложная функция дифференцируема в точке х₀, причем. .

► Функции f и g дифференцируемы, а потому и непрерывны в точках х₀ и у₀ . По теореме о непрерывности сложной функции (гл. 1, п.5.2) определена в некоторой окрестности и непрерывна в точке х₀.

Пусть h достаточно мало по модулю, так что х₀+ h . Обозначим:

. Тогда f(x₀+h) = y₀ + ; поэтому т.е. .

В силу формулы (3) , где α(Δу) – некоторая функция такая, что α(Δу) → 0 при Δу → 0 и α (0) = 0. Так как f дифференцируема, то h + o(h). Подставляя эти выражения для , получим:

=

= = , где . Покажем, что . Имеем:

. Заметим: , при . Кроме того, - приращение непрерывной функции, поэтому при . Так как α(Δу) → 0 при Δу → 0 (см. выше), а при , то α(Δу) → 0 при . Таким образом, оба слагаемые в правой части написанного выше равенства стремятся к нулю при ; следовательно, при , т.е. .

Итак, = Аh + o(h), где А = , из чего вытекает и дифференцируемость , и равенство . ◄

Теорема 5. ( О производной обратной функции ) Пусть функция f непрерывна и строго монотонна в окрестности , . Если f дифференцируема в точке х₀, а , то обратная функция дифференцируема в точке у₀, у₀ = f(х₀), причем .

► По теореме о непрерывности обратной функции (гл. 1, п.5.5) обратная функция непрерывна на некотором интервале (с, d), содержащем точку у₀ = f(х₀) и строго монотонна на нем. Пусть отлично от нуля и достаточно мало по модулю, так что у₀ + (с, d). Обозначим: . Так как у₀ = f(х₀), а , то g(y₀) = = x₀. Значит, g(y₀+ ) = g(y₀) + = x₀ + . Из g(y₀+ ) = = x₀ + следует: y₀+ =f(x₀ + ), = f(x₀ + ) – у₀ = f(x₀ + ) -- f(х₀). Таким образом, . Так как ≠ 0, а g – строго монотонная функция, то отлично от нуля, поэтому последнюю дробь можно перевернуть:

. Перейдем в этом равенстве к пределу при . Заметим,что при стремится к нулю и , ибо является приращением непрерывной функции (см. выше). Заметим еще, что . Таким образом, = , т.е. существует и равна . ◄

Пример 9. Пусть f(x) = a , где a> 0, a ≠ 1. Эта функция непрерывна и строго монотонна на всей числовой оси, причем (см. пример 2) при вся- ком . В силу доказанной теоремы обратная функ- ция дифференцируема в точке y₀ = a , а . Так как здесь х₀ – любое вещественное число, то у₀ - любое положительное число.

Пример 10. Пусть f(x) = sinx. Эта функция непрерывна и строго монотонна на , и при любом из этого интервала cos . Значит, обратная функция g(y) = arcsiny дифференцируема в точке y₀ = = sinx₀, a . Так как - любая точка интервала , то y₀ - любое число из интервала (-1,1).

Пример 11. Пусть f(x) = tgx. Эта функция непрерывна и строго монотонна на , и при любом из этого интервала . Значит, обратная функция g(y) = arctgy дифференцируема в точке y₀ = tgx₀, a . Так как - любая точка интервала , то y₀ - любое вещественное число.

 

1.4. Дифференциал функции

Пусть функция f (х) определена в окрестности = (α, β), α < < β, и дифференцируема в точке . Приращение = f(x₀ +h) – f(x₀) функции в точке можно рассматривать как функцию от h, которая определена для тех h, при которых точка + h (α, β), т.е. для h = (α - , β - ); h называют приращением аргумента х и обычно обозначают через Δ х. Из формулы (1) следует, что функция является бесконечно малой при , причем, если А 0, то порядок её равен единице, а произведение А h (напомним: А = )есть её главная часть (гл. 1, п.). Если же А = 0, то порядок бесконечно малой выше единицы.

Определение. Дифференциалом функции f в точке назовем произведение h, где h – переменная, принимающая значения в окрестности точки 0: .

Обозначать дифференциал будем символами df и df(h):

df(h) h. Из (1) следует: при h = (α - , β - )

= df(h) + о(h) (5)

Если , то дифференциал df(h) представляет собой главную часть при- ращения . Если же , то при любых h df(h) = 0, т.е. дифференциал в этом случае тождественно равен нулю. При h, малых по модулю дифференциал функции ”почти не отличается ” от её приращения (см. формулу (5)); это обстоятельство позволяет упрощать решения многих задач, заменяя приращение простым и удобным в обращении выражением – дифференциалом df(h). Так поступают, например, если требуется найти приближенное значение функции в заданной точке.

Пример 12. Найдем приближенно значеиие . Положим f(x)= = , х₀ = 8, h = 0,12. Тогда = f(x₀+h), f(x₀) = 2. Заметим: (h) = f(x₀+h) – f(x₀); f(x₀+h) = = f(x₀) + (h) ≈ f(x₀) + df(h). Отсюда, положив h = 0,12, получим: ≈ 2 + + df (0,12). Вычислим значение дифференциала df(h) в точке х₀ = 8 при h = 0,12. Имеем: = , = , значит, df(h)= h = h =. 0,12 Теперь найдем: ≈ 2 + df( 0,12 ) = 2 + 0,12 = 2 + 0,01 = 2,01.

Существенным недостатком приведенных здесь выкладок является отсутствие оценки погрешности приближенного равенства ≈ . Ниже будет указан способ получения этой оценки.

Из теоремы 3 вытекают следующие правила вычисления дифференциалов: пусть функции f и g дифференцируемы в точке х₀, тогда

1. d(f+g) = df + dg;

2. d(f g) = f(x₀) dg + g(x₀) df;

3. если g(x₀) 0, то .

Если функции f и g удовлетворяют требованиям, указанным в условии теоремы 4 о производной сложной функции, то для суперпозиции имеем в точке х₀ : dF = , где у₀ = f(x₀).

Опишем свойство дифференциала, которое называют инвариантностью (неизменностью) его формы..

Пусть х_{0 –} некоторое число, а функция φ определена в окрестности равенством φ(х) = х. Приращение и дифференциал этой функции назовем приращением и дифференциалом независимой переменной х и обозначим через Δ х и dx соответственно. Заметим: φ(х₀+h) – φ(x₀) =(х₀+h) – x₀ = h; а так как φ′(x) = 1, то dx = φ′(x₀) h = h;значит, приращение независимой переменной х равно её дифференциалу: dx.

Пусть переменная у является функцией переменной х, дифференцируемой в точке х₀: y =у(x), где у(х) - функция, дифференцируемая в точке х₀ . Дифференциал функции у(х) назовем дифференциалом зависимой переменной у и обозначим через dy: dy = y′(x₀) h. Здесь h – приращение аргумента (независимой переменной) х, значит (см. выше), можно записать и dy = y′(x₀) Δ х, и dy = y′(x₀) dx. Последнее равенство позволяет сформулировать следующее правило написания дифференциала: дифференциал зависимой переменной равен произведению её производной на дифференциалеё аргумента.

Пусть переменная z является функцией переменной у: z = z(у), и пусть эта функция дифференцируема в точке у₀ = y(x₀). Тогда z представляет собой сложную функцию независимой переменной х: z = z(у(х)) = F(x), В силу теоремы о производной сложной функции, F дифференцируема в точке x₀, причем F′(x₀) = z′(y₀) y′(x₀). Запишем дифференциал переменной z: dz = F′(x₀) dx = z′(y₀) y′(x₀) dx. Но y′(x₀) dx = dy, значит, dz = z′(x₀) dу, т.е. дифференциал dz зависимой переменной z = z(у) равен произведению её производной z′(у₀) на дифференциал dу её аргумента у. Таким образом, правило написания дифференциала, сформулированное в предыдущем абзаце, может быть применено и здесь.

Итак, если две переменные, функция и её аргумент связаны дифференцируемой зависимостью, то дифференциал функции записывается как произведение производной функции на дифференциал её аргумента - это верно и в случае, когда аргумент является независимой переменной, и в случае, когда аргумент сам представляет собой функцию от некоторой третьей переменной. Указанное свойство и называют инвариантностью формы дифференциала.

 

1.5. Геометрический смысл производной и дифференциала

Пусть функция f определена на интервале (a,b), а γ – ее график,т.е. кривая, уравнение которой y=f(x). Пусть f(x) непрерывна в некоторой точке и пусть h отлично от нуля и достаточно мало по модулю, так что . Точки: М₀(х₀ , у₀), где y₀=f(x₀), и М_h (x₀+h, f(x₀+h)) лежат на графике γ (рис. 1). Прямую, проходящую через точки М₀ и М_h обозначим через Δ_h и назовем секущей; очевидно, она не параллельна оси OУ. Углом наклона α(h) секущей Δ_h к оси ОХ назовем угол между этой осью и прямой Δ_h, заключенный в интерва- ле ; он отсчитывается от оси ОХ против часовой стрелки, если α(h) > 0, и по часовой стрелке в случае. α(h) < 0. При изменении h точка М_h перемещается вдоль графика γ, что вызывает вращение Δ_h вокруг точк