Схема Рунге (пятиточечная схема)

Министерство образования и науки РФ

БАЛТИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

“ВОЕНМЕХ” им. Д.Ф. Устинова

Кафедра ракетостроение

Отчет по лабораторной работе №2

Компьютерное обеспечение технических решений

Выполнил: Сафиулин Р.Т.

Группа: КВ-61

Проверил: Степанов М.М.

Вариант №12

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Решение дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа методом конечных разностей

(на примере двумерного уравнения Лапласа)

Цель работы

· изучение конечно-разностных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа на примере двумерного уравнения Лапласа;

· освоение наиболее распространенных простейших разностных схем решения этого уравнения;

· исследование свойств разностных схем;

· изучение методов решения получающихся систем линейных алгебраических уравнений;

· изучение возможных алгоритмов реализации данных методов на ЭВМ;

Краткие сведения из теории

3.2.1. Двумерным уравнением Лапласа называется следующее дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа:

(3)

Это уравнение часто встречается в приложениях и описывает целый ряд важных физических процессов:

§ напряжения, возникающие при упругом кручении цилиндрического стержня;

§ распределение потенциалов (или электрических напряжений) на проводящей плоскости при задании потенциала на ее границе;

§ стационарные (установившиеся) поля температур в двумерном твердом теле;

§ дозвуковое (потенциальное) течение газа и т.д.

Для корректной постановки задачи необходимо задание соответствующих граничных условий. Если граничные условия задаются в виде

U(x,y)│_s = f(x,y), где S - граница рассматриваемой области, (4)

то задача носит название «задачи Дирихле».

Используемые методы

«Прямые» методы решения уравнения Лапласа

В данной лабораторной работе для решения указанного уравнения в качестве «прямого» метода предлагается использовать схему Рунге (другое название «пятиточечная схема»). Будучи примененная к уравнению Лапласа в сочетании с последующим использованием для решения получающейся системы линейных алгебраических уравнений итерационного метода Гаусса - Зайделя, она получила название «метода Либмана». Именно метод Либмана используется в данной лабораторной работе.

Схема Рунге (пятиточечная схема)

Простейшая пятиточечная схема выглядит следующим образом:

(5)

Модифицированное уравнение (дифференциальное приближение) этой схемы имеет следующий вид:

Схема имеет второй порядок аппроксимации. Абсолютно согласована. Превалируют диссипативные ошибки.

При ∆x=∆y разностные уравнения имеют вид:

(6)

Уравнение (5) или (как в данной лабораторной работе) уравнение (6) записывается для всех узлов сетки, в которых величина U(i,j) неизвестна, т.е. для всех ее «внутренних» узлов. Если задача решается в квадрате, каждая сторона которого разбита N точками на (N-1) отрезков, то (при граничных условиях Дирихле) в каждом из внутренних узлов должно удовлетворяться разностное уравнение (5) или (6). При этом необходимо одновременно решать (N-2)*(N-2) линейных алгебраических уравнений с (N-2)*(N-2) неизвестными.

В данной лабораторной работе используется итерационный метод Гаусса-Зайделя, который при применении к уравнению Лапласа часто, как уже отмечалось, называют методом Либмана (ω=1). Для ускорения сходимости данного итерационного процесса используется метод последовательной верхней релаксации с ускоряющим множителем ω, причем . При ω=1 реализуется сам метод Гаусса-Зайделя без ускорения, а при - метод последовательной нижней релаксации, замедляющий процесс сходимости.

Как отмечалось, в данной лабораторной работе используется также метод последовательной верхней релаксации с ускоряющим множителем ω, причем 1< ω <2. Этот метод может быть использован для ускорения любого итерационного процесса (в данной лабораторной работе - метода Гаусса-Зайделя). Идея его состоит в коррекции неизвестных на очередном шаге итерации

, где

- скорректированное значение неизвестной на новом (n+1) шаге итерации;

- значение неизвестной на последнем (n+1) шаге итерации (без коррекции);

- значение неизвестной на предыдущем n шаге итерации.