Метод координат в пространстве

Векторы на плоскости

Вектором называется отрезок, у которого указаны начало и конец (т.е. величина, которая характеризуется численным значением и направлением).

Координаты и длина вектора

Даны точки А(х₁;у₁) и В(х₂; у₂) Координаты вектора
Длина вектора вычисляется по формуле:
Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе.
Действия над векторами Если , то
Разложение вектора по координатным векторам Если , то
Коллинеарные векторы Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Условие коллинеарности векторов в координатном представлении:	- сонаправленные векторы - противоположно направленные векторы
Равные векторы ,если: У равных векторов соответствующие координаты равны. Противоположные векторы ( противоположные векторы,если: 1) 2) Соответствующие координаты противоположны.
Ортогональные векторы Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов, на плоскости:	- ортогональные векторы
Скалярное умножение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними: Скалярное произведение векторов выражается через координаты:	j=90⁰® 0⁰≤j<90⁰® 90⁰<j≤180⁰®
Применение скалярного произведения к решению задач

Метод координат в пространстве

Прямые x,y,z называются координатными осями (или осями координат), Оси координат обозначаются так: OX- ось абсцисс OY- ось ординат OZ- ось аппликат точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями. В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. М(x; y; z).

Прямоугольная система координат в пространстве

Действия над векторами:

Сложение векторов

Вычитание векторов

Умножение вектора на число k.

Координаты середины отрезка AB: А(x₁;y₁;z₁), B(x₂;y₂;z₂). Точка М середина отрезка AB.

Вычисление длины вектора

по его координатам:

Расстояние между двумя точками. А(x₁;y₁;z₁) и B(x₂;y₂;z₂).

Вычисление координат вектора

. Если А(x₁;y₁;z₁), B(x₂;y₂;z₂).

Скалярное произведение векторов

выражается формулой:

Перпендикулярность векторов:

;

Коллинеарность векторов:

;

,если координаты векторов не равны нулю.

Косинус угла между ненулевыми векторами векторов

вычисляется по формуле:

Задачи по теме «векторы в пространстве»

1. Даны координаты точек А(-3; 2; -1), В(2; -1;-3), С(1; -4; 3), Д(-1; 2; -2).

Найдите | 2АВ+3СД |

Решение:

(2+3; -1-2;-3+1)=(5;-3;-2)

(-1-1;2+4;-2-3)=(-2;6;-5).

2 +3 =(10+(-6);-6+18;-4-15)=(4;12;-19).

+3 = =

Ответ:

2. Даны координаты точек С(3; -2; 1), Д(-1; 2; 1), М(2; -3;3), N(-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами и .

Ответ:0,7

3. Вычислите угол между векторами (2; -2; 0) и (3; 0; -3).

Ответ:60⁰

4. При каком значении n данные векторы перпендикулярны: (2; -1;3) и (1;3; n)?

Ответ:

5. Вычислите координаты вектора 2 +3 + по координатам векторов: (3;1; 1), (-2;0;2)

Ответ:(1;1;8)

6. Вычислите значение k, при котором скалярное произведение векторов (2;k;-1) и

Ответ:

7. Даны векторы: (-3;-1;2), (5;-2;7). Найдите координаты вектора: - +3 .

Ответ:(18;-5;-19)

8. При каких значениях x и у векторы а(х;-2;5) и b(1;у;-3) коллинеарные?

Ответ:x= =

9. Вычислите длину вектора 2 + 3 , если (3; 1;0), (0;1;-1).

Ответ:

10. Даны две точки А(2;-1;3), В(1;0;4) и вектор (4;-2;-3). Найдите длину вектора 3 + 5

Ответ:

11. Даны точки А(2;0;1), В(4;-1;3), С(1;1;2). Найдите косинус внутреннего угла при вершине В треугольника АВС.

Ответ:

12. Найдите сумму всех значений m, при которых векторы а(m + 1; 1;-1;) и b(m; -m;-2m+3) перпендикулярны.

Ответ:-2

13. Найдите длину большей диагонали параллелограмма, построенного на векторах (3;-3;-2) и (1;2;-1).

Ответ:

14. Найдите в градусах угол между векторами (1;1; ) и осью Оz.

Ответ:

15. Даны векторы (-1;1;1;) (0;2;-2). Найдите координаты вектора с =(2 +3 )-( -2) +2( - ).

Ответ: (-3;9;-3)

16. Найдите значения m и n, при которых следующие векторы коллинеарные: (15;m;1) и (18;12;n)

Ответ:m=10,n=1,2

17. Даны векторы =mi+3j+4k и =(4i+mj-7k). При каком значении векторы ортогональны?

Ответ:4

18. Даны векторы (-1;2;3) и (5;х;-1). При каком значении х выполняется условие аb=3?

Ответ:5,5

19. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(-2;0;1), В(-1;2;3) и С(8;-4;9). Найдите координаты вектора ВМ, если ВМ медиана треугольника АВС.

Ответ: (4;-4;2)

20. Даны вершины треугольника: А(-1;-2;4), В(-4;-2;0) и С(3;-2;1). Найдите угол треугольника при вершине А.

Ответ:

21. Вычислите + c+ c, если, +b+c=0 и | |=| |=|c|=1.

Ответ:-1,5

22. Вычислите длину вектора =2i+j-3k.

Ответ:

23. Найдите косинус угла между векторами - и + , если (1;2;1) и (2;-1;0).

Ответ:cos

24. Найдите скалярное произведение векторов и , если | |=1, | |=2, |a+b|=3.

Ответ:2

25. Найдите угол между векторами р=2 +3 и q=2 -3 , если =i-j+2kи =2i+2j

Ответ:cos =

26. В параллелограмме АВСД заданы АВ(-4;-4;-2), СВ(-3;-6;1) и А(3;8;-5). Найдите сумму координат точки пересечения диагоналей.

Ответ:5

27. Длина вектора (х;у;z) равна 5. Найдите ординату вектора , если х=2, z=-

Ответ: 4

28. Даны три точки А(1;0;1), В(-1;1;2) и С(0;2;-1). Найдите точку Д(х;у;z), если векторы АВ и СД равны.

Ответ:Д(-2;3;0)

29. При каком значении (значениях) k векторы (6-k;k;2) и (-3;5+5k;-9) перпендикулярны?

Решение:

-3(6-k)+k(5+5k)-18=0

-18+3k+5k+5k -18=0

5k +8k-36=0

(+)=-8

(*)=-180

k = =2 k =-

Ответ:k =2, k =

30. При каком значении а векторы АВ и СД коллинеарны, если А(-2;-1;2), В(4;-3;6),

С(-1;а-1;а), Д(-4;-1;а)?

Ответ:-1

31. Дано: | |=4, | |=1. . Найдите cosa, где а – угол между векторами - и

Ответ:cos

32. Найдите длину вектора a+b+c, если |a|=1 |b|=2, |c|=3,. , .

Ответ:

33. В параллелограмме АВСД заданы СД(-3;4;2), СИ(5;-2;4) и А(5;8;0). Найдите расстояние от точки С до начала координат.

Ответ:

34. Точки А(14;-8;-1), В(7;3;-1), С(-6;4;-1), Д(1;-7;-1) являются вершинами ромба АВСД. Найдите острый угол ромба

Ответ:

35. Дан треугольник с вершинами в точках А(3;-2;1), В(3;0;2), С(1;2;5). Найдите угол, образованный медианой ВД и основанием АС.

Ответ:

36. В правильном тетраэдре ДАВС с ребром а точка О – центр треугольника АВС. Найдите | + - |.

Ответ:

37. Даны три точки: А(1;0;10, В(-1;1;2), С(0;2;-1). Найдите на оси Оz такую точку Д(0;0;с), чтобы векторы и были перпендикулярны.

Ответ:1

38. В тетраэдре ДАВС ДА=ДВ=ДС, . Вычислите угол между векторами: а) и б) и .

Ответ:60⁰; 135⁰

39. При каком значении а три точки А(2;а; 3), В(3;1;6), С(4;3;9) лежат на одной прямой?

Ответ:-1

40. Найдите длину интервала значений параметра а, при которых р(-1;2х;х ) и q(5;а;а) при любом х образуют тупой угол.

Ответ:5

41. Найдите длину вектора - - ,если | |=2, | |=3,| |=4, угол между и равен , между и равен и между и равен .

Ответ:

42. Векторы и взаимно перпендикулярны, вектор образует с ними угол . Зная, что =3, =5, =8, вычислите скалярное произведение - + .

Ответ:-62

43. Треугольная пирамида задана координатами своих вершин А(3;0;1), В(-1;4;1), С(5;2;3) и Д(0;-5;4). Вычислите длину вектора , если О – точка пересечения медиан треугольника ВСД.

Ответ:

44. =2, =3, , )=120. Найдите cos , где - угол между векторами и + .

Ответ:cos

45. Треугольник задан координатами своих вершин А(1;1;2), В(3;4;2) и С(5;6;4). Найдите величину внешнего угла треугольника при вершине В.

Ответ:

46. В треугольнике АВС точки M и N – середины сторон АВ и ВС соответственно. Известно, что (3;-5;6), (-2;1;7). Найдите сумму координат вектора .

Ответ:8

47. Найдите сумму целых значений параметра b, при которых векторы (х ;х; 16) и

(1;b;- ) при всех значениях х образуют острый угол.

Ответ:-6

48. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A(1; 6; 3), B (3; − 1; 7) и C(− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов , и .