Операции над парами
Пары будут эквивалентными друг другу, если они оказывают одинаковое вращательное действие на данное тело. Пары будут эквивалентными, если они имеют одинаковые моменты (векторные или алгебраические).
Над парами можно производить такие операции, которые не изменяют их моменты.
Операция №1.
Изобразим пару и плоскость ее действия.
Пару сил можно как угодно перемещать в ее плоскости действия.
Операция №2
Пару сил можно переносить в любую плоскость параллельную ее плоскости действия.
Операция №3
Операция трансформации (меняется форма).
Силы и плечо пары можно изменять как угодно, но так чтобы величина момента и направление поворота сохранялись.
m = F1 d1
m= Q1 d2
F1 d1 = Q1 d2
Сложение пар.
Под сложением пар понимают замену нескольких пар одной парой, которая называется равнодействующей парой.
Сформулируем теорему:
Система из двух пар эквивалентна одной паре, которая называется равнодействующей пары, момент которой равен сумме моментов пар.
Если эти пары лежат в разных плоскостях, то их сумма будет векторной.
Если они лежат в одной плоскости, то сумма будет алгебраическая.
Показать на макете.
 |
Рассматривается система двух пар. Первую пару мы можем трансформировать, выбрать другие любые силы. Но нам понадобится знать плечо пары. Для определения плеча момент этой пары разделим на новую силу пары. Тоже самое, проделаем с другой парой. У этих преобразованных пар можем взять одинаковые силы. Переместим первую пару в точки А и С, а вторую пару в точки А и В. На макете, одна из пар черная, другая красная. Две черные силы образовали уравновешенную систему, которую мы можем отбросить. Осталась пара с красными силами. Т.о. мы пока нашли равнодействующую пару. Осталось доказать, что момент этой пары будет диагональю параллелограмма образованного моментами m1;m2.
Доказательство:
Пусть:
m1 (
, 
);
m2(
; 
) -моменты заданных пар
1) Первую и вторую пару преобразуем
(, ) 
(
; 
);
(
; ) (
; 
);
Причем так, что
= = =
Первую и вторую пары заменяем равнодействующей парой (; )
Плечи новых пар
d1= 
d2= 
2) Переместим пары так, чтобы силы и были направлены по одной прямой.
3) Отбрасываем силы и , так как они образовали уравновешенную систему.
4) Что осталось? Две силы и , которые образуют пару
S((; )(; )) 
S(; )/
Изображаем векторный момент первой пары. Мы должны доказать, что моменты 
и 
в сумме должны давать моменты пары (; ).
момент пары (; ).
Введем радиус вектор точки В
= 
()= 
;
= ()= 
;
= 
()= 
.
Из рисунка видно
= - .
Поэтому
=( - ) =
раскрываем скобки
- =
подставляем = -
+ ;
тогда
= +
ч.т.д.
Если система состоит из n пар, то
= 
- векторный момент в случае пространственной системы.
= 
- алгебраический момент в случае плоской системы.
Условия равновесия пар сил.
Справедлива следующая теорема:
Для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент равнодействующей пары был равен нулю, т.е. в случае пространственной системы сил.
=0
=0
В случае плоской системы сил.
М =0
=0
Условия, которым должны удовлетворять при равновесии моменты пар данной системы.
Доказательство основано на определении момента пары и применении аксиомы №1