Решение.
1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:
2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:
Вопрос 2. Теорема умножения.
Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.
При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В 
равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:
Пример 4. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.
Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб 
, во второй раз 
, в третий раз 
. Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:
Умножение вероятностей взаимно зависимых случайных событий
Если наступление одного события влияет на вероятность наступления второго события, то события называют взаимно зависимыми.
Если события А и В взаимно зависимы, то условной вероятностью 
называют вероятность события В, принимая, что событие А уже наступило.
Теорема умножения вероятностей взаимно зависимых событий. Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого, то есть вычисляется по формуле:
или
Пример 5. В ящике 26 лотерейных билетов, из которых 3 с выигрышем. Найти вероятности того, что первый билет будет с выигрышем, вероятность того, что второй билет будет с выигрышем при условии, что первого билета уже нет в ящике и вероятность того, что два взятые подряд билета будут с выигрышем.
Решение. Найдём вероятность того, что первый взятый билет будет с выигрышем:
Найдём вероятность того, что второй взятый билет будет с выигрышем при условии, что первого билета уже нет в ящике:
Найдём теперь вероятность того, что оба взятые подряд билеты будут с выигрышем, т.е. вероятность общего наступления двух зависимых событий, которая является произведением вероятности первого события и условной вероятности второго события:
Вопрос 3. Формула Бернулли.
Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность 
того, что в n независимых испытаниях событие A наступит m раз, находится по формуле Бернулли:
(где q = 1 – p - вероятность того, что событие не наступит)
или
Пример 6. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимы, найти вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребует какой-либо один станок из четырёх обслуживаемых им.
Решение. Используя формулу Бернулли при n=4, m=1, p=0,6 и q=1–p=0,4, получим
Пример 7. Найти вероятность того, что среди взятых случайно пяти деталей две стандартные, если вероятность того, что каждая деталь окажется стандартной, равна 0,9.
Решение. Вероятность события А, состоящего в том, что взятая случайно деталь стандартна, есть p=0,9, а вероятность того, что она нестандартна, есть q=1–p=0,1. Обозначенное в условии задачи событие (обозначим его через В) наступит, если, например, первые две детали окажутся стандартными, а следующие три – нестандартными. Но событие В также наступит, если первая и третья детали окажутся стандартными, а остальные – нестандартными, или если вторая и пятая детали будут стандартными, а остальные – нестандартными. Имеются и другие возможности наступления события В. Любая из них характеризуется тем, что из пяти взятых деталей две, занимающие любые места из пяти, окажутся стандартными. Следовательно, общее число различных возможностей наступления события В равно числу возможностей размещения на пяти местах двух стандартных деталей, т.е. равно числу сочетаний из пяти элементов по два, а 
.
Вероятность каждой возможности по теореме умножения вероятностей равна произведению пяти множителей, из которых два, соответствующие появлению стандартных деталей, равны 0,9, а остальные три, соответствующие появлению нестандартных деталей, равны 0,1, т.е. эта вероятность составляет 
. Так как указанные десять возможностей являются несовместимыми событиями, по теореме сложения вероятность события В, которую обозначим 