Теорема 1 (существование и вычисление интеграла от функции комплексного переменного).

Лекция 5

Интеграл от функции комплексного переменного

Определение 1. Пусть – непрерывная кривая на комплексной плоскости (замкнутая или нет), и пусть вдоль этой кривой задана некоторая функция комплексного переменного . Разобьем произвольным образом на части точками , и на каждой дуге разбиения выберем произвольную точку (можно и на краю этой дуги) (рис. 1):

Рис.1

Составим интегральную сумму , где . Обозначим через максимальную по длину вектора . Если существует предел наших интегральных сумм при , который не зависит от выбора точек и , то этот предел называется интегралом от функции комплексного переменного вдоль кривой и обозначается . Таким образом,

. (1)

Пусть , , , тогда

Пусть . Обозначая , имеем:

при условии существования этих криволинейных интегралов (второго рода).

Таким образом, нами доказана следующая теорема:

Теорема 1 (существование и вычисление интеграла от функции комплексного переменного).

(2) при условии существования криволинейных интегралов в правой части этой формулы.

Запомнить формулу (2) проще всего при помощи следующей формальной выкладки: .

Если задана параметрическими уравнениями , , , функции и непрерывно дифференцируемы на , при изменении от до кривая описывается в направлении от к (не обязательно ), функции и непрерывны на , то интегралы в правой части формулы (2) существуют и

. (3)

Пример. Вычислить , где 0 – начало координат, В: , а путь интегрирования: (рис. 2).

Решение.

Рис. 2

Уравнения кривой , , можно записать в виде , т.е. , , при этом .

Формулу (3) можно переписать следующим образом:

Легко видеть, что функция в фигурных скобках в правой части последней формулы равна , и, таким образом,

(4)

(мы получили формулу (4) при помощи формальных преобразований; на самом деле, если рассмотреть комплексно-значные функции действительного переменного и их производные , то эти преобразования будут иметь вполне строгий характер).

Задача. Показать что

, (5)

где - окружность радиуса с центром в точке (как и обычно, при отсутствии указания на направление обхода контура это направление берется положительным, т.е. для правой системы координат против часовой стрелки).

Решение. Зададим контур параметрически: , (при таком задании, как раз, ). При этом , т.е. , . Тогда и по формуле (4) .

Основные свойства интегралов от функций комплексного переменного

Сначала при условии существования интегралов укажем три свойства, которые следуют из аналогичных свойств криволинейного интеграла и определения 1:

1. Для любых комплексных чисел и

2. (рис. 3).

Рис. 3

3. .

4. Теорема 2. Пусть для и длина кривой . Тогда при условии существования интеграла:

. (6)

Можно проверить, что для комплексных чисел, как и для действительных чисел,

, , , .

Из определения 1, . Отсюда имеем:

Здесь это расстояние на комплексной плоскости между точками и , а сумма таких расстояний, т.е. длина ломаной, вписанной в дугу (рис. 4). Но длина всякой вписанной ломаной не превосходит длины самой дуги, значит, , откуда при . ■

Рис. 4

Теорема 3 (интегральная теорема Коши). Пусть функция аналитическая в односвязной области и кусочно-гладкая замкнутая кривая. Тогда .

Вспомним формулу (2): при и

. Два последних криволинейных интеграла удовлетворяют условию независимости криволинейного интеграла второго рода от формы пути интегрирования , при выполнении которого :

для первого из них , , ,

для второго же , , ,

а и , так как аналитическая функция удовлетворяет условиям Коши-Римана. ■

Следствие 1. Если функция аналитична в односвязной области и кусочно-гладкая кривая, то не зависит от формы пути , а зависит лишь от положения ее начальной и конечной точек.

Следствие 2. Пусть функция аналитична в односвязной области и какая-либо ее первообразная в этой области, т.е. , . Тогда для любых

. (7)

Пусть . Тогда по формулам нахождения производной . Так как , то отсюда , , тогда при , из формулы (2) = , что, согласно условиям Коши-Римана для аналитической функции , равно = , а это, как было показано в теме «Криволинейные интегралы», равно . ■

Пример. Найти .

Решение. .

Теорема 4 (интегральная теорема Коши для неодносвязных областей). Пусть область ограничена конечным числом кусочно-гладких кривых и функция аналитическая в некоторой области , включающей и всю ее границу (на рис. 5 сплошной линией изображена граница , а пунктиром – граница ).

Тогда, если внешняя граница , а , ее внутренние границы, то

то , где все интегралы берутся в одном направлении.

Рис. 5

Взяв произвольные точки и на контуре , проведем гладкие самонепересекающиеся кривые , , (на рис. 6 – произвольные точки внутренних границ). К двум получившимся односвязным областям применим теорему 3:

Рис. 6

и . Сложим эти два равенства. При этом интегралы по введенным перегородкам сокращаются, так как эти перегородки проходятся дважды, один раз в одном, другой раз в противоположном направлении. Получим:

, т.е.

, или, учитывая, что , , (здесь это контур , проходимый в противоположном направлении).

Аналогично для большего количества «дырок» и для противоположного направления обхода границ области . ■

Теорема 5 (интегральная формула Коши). Пусть функция аналитическая в односвязной области , кусочно-гладкая замкнутая кривая и точка внутри этой кривой. Тогда

(8)

(направление обхода контура берется положительным).

Мы будем доказывать, что .

На рис. 7 «внешним» пунктиром изображена граница области . Пусть окружность радиуса с центром в точке , целиком содержащаяся внутри (для этого должно быть достаточно малым). В области, ограниченной «внешним» и любым «внутренним» (по отношению к ), содержащим ,

Рис. 7

пунктирами, функция является аналитической (как отношение двух аналитических функций при знаменателе, отличном от 0), и по теореме 4 . Надо доказать, что последнее выражение равно . Учитывая формулу (5), нам надо проверить, что или

. (9)

Для проверки (9) докажем, что интеграл в левой части этой формулы можно (за счет выбора ) сделать сколь угодно малым. Пусть сколь угодно малое число. Так как непрерывна в точке , то в некоторой окрестности этой точки и, значит, для достаточно малых (таких, что окружность попадает в эту окрестность) для . Тогда