Рассмотрим задачу о струйном движении тяжелой жидкости через водослив (рис. 2), который представляет собой вертикальную стенку с треугольным отверстием, расположенным симметрично относительно вертикали, причем угол отверстия α равен 90º. Жидкость вытекает под напором h, который равен высоте уровня жидкости над вершиной треугольника на далеких расстояниях от отверстия водослива. Для простоты мы примем, что сосуд, в котором находится жидкость, очень велик, и поэтому движение жидкости можно считать установившимся. При струйном движении жидкости основное значение имеют свойства инерции и весомости, которые характеризуются значениями плотности ρ и ускорения силы тяжести g.
Рис. 2. Перетекание тяжелой жидкости через водослив.
Установившееся течение жидкости через рассматриваемый водослив полностью определяется следующими параметрами:
ρ, g, h.
Вес жидкости Q, вытекающий через отверстие водослива в единицу времени, может быть функцией только этих параметров
Q = f(ρ, g, h).
С помощью теории размерности нетрудно найти вид этой функции. В самом деле, размерность Q равняется кгс/с. Комбинация 
также имеет размерность кгс/с. Поэтому отношение
является безразмерной величиной. Это отношение является функцией величин ρ, g, h, из которых нельзя образовать безразмерной комбинации, поэтому можно написать
или
, (9)
где С есть абсолютная постоянная, которую проще всего определить из опыта. Полученная формула полностью определяет зависимость количества протекающей жидкости от напора h и от плотности ρ.
Совокупность рассматриваемых движений можно расширить, допуская водосливы с различными углами α. В этом случае система определяющих параметров дополняется углом α, и формула (9) примет вид
|
|
, (10)
т. е. коэффициент С будет зависеть от угла α.
Если водослив имеет прямоугольную форму шириной b, то система определяющих параметров будет
ρ, g, h, b.
Все безразмерные величины определяются параметром h/b. Формула (9) в этом случае заменится следующей:
. (11)
Функцию f(h/b) можно определить опытным путем, наблюдая течение через водослив различной ширины b, но с постоянным h. Определив таким способом функцию f(h/b), формулу (11) можно применять к случаям постоянной ширины b=const, но с различным напором h, т. е. к случаям, в которых опыт не производился.
Этот пример показывает, что соображения, полученные с помощью метода размерности, могут приносить большую пользу при постановке опытов, позволяя ограничивать их количество и получать благодаря этому экономию не только в средствах, но и во времени. Изменение одних величин можно заменять в опытах изменением других величин. На основе опытов, произведенных с водой, можно дать исчерпывающие ответы о явлении вытекания нефти, ртути и т. д.
Заключение.
Три теоремы подобия составляют главную основу теории подобия.
Вот краткое содержание изложенной теории подобия:
1)Подобные явления протекают в геометрически подобных системах и описываются буквально одинаковыми уравнениями связи.
Эти уравнения должны быть безусловно или условно однородными.
2)Условно однородными физические уравнения делаются присоединением к ним «обусловливающих равенств», которые устанавливают равенство единице индикаторов подобия, получающихся из уравнений, или, что то же, одинаковость для подобных явлений критерием подобия.
|
|
3)Однородные уравнения могут быть представлены как функции степенных комплексов (критериев) и симплексов.
Такие «критериальные» уравнения численно одинаковы для всей группы подобных явлений.
4)Подобны те явления, уравнение связи которых буквенно одинаковы и условия однозначности которых подобны, т. е. у которых одноименные моноваленты (величины, входящие в условия однозначности) находятся в численно постоянном отношении, а одноименные моновалентные (определяющие) критерии одинаковы.
Теория подобия дает, следовательно, общие методические указания, как поступать в каждом отдельном случае при анализе уравнений, описывающих явление, при постановке и обработке данных опыта над ним и при распространении результатов опыта на другие явления. Если же дана натура и исследовать ее хотят на модели, то теория подобия содержит методические указания по расчету и построению модели, подобной натуре.
Основные методические указание о применении теории подобия к опыту, будь то физическое экспериментирование или техническое моделирование, состоит в следующем.
При исследовании явления надо установить для него уравнения связи, дающие взаимную связь физических величин, участвующих в явлении.
Эти уравнения должны быть формулированы для того частного случая, который является объектом исследования. Присоединение к ним условий однозначности делает исследование определенным и позволяет применить теорию подобия.
Поэтому во всех случаях, когда уравнения связи могут быть найдены, метод анализу уравнений есть единственно правильный путь применения теории подобия и только тогда, когда установить математическую зависимость между величинами, характеризующими явление, не удается, надлежит обратиться к методу анализа размерности. Этот путь менее надежен и поэтому результат его необходимо проверять на опыте. Им не следует пренебрегать, так как во многих случаях анализ размерности дает при обработке опытов ценные выводы.
|
|
В настоящее время теория подобия имеет следующие направления.
Первым по времени направлением является приложение теории подобия к изучению разнообразных технических сооружений и моделей.
Моделирование стало мощным средством для обнаружения различных недостатков, имеющихся в следующих технических устройствах, и для изыскания путей к их устранению.
Далее моделирование уже стало широко применяться для проверки вновь конструируемых объектов, так что до их выполнения, в процессе проектирования, моделирование позволяет совершенствовать новые, еще не опробованные на практике конструкции.
Теория подобия нашла также применение при обобщении рабочих показателей целых групп однотипных машин и устройств, так что на основании обработки данных многочисленных испытаний оказывается возможным создавать новые, основанные на критериях подобия, способы расчета различных технических объектов, которые приводят к установлению рациональных, связанных с экономией энергии режимов.
Теория подобия стала научной основой обобщения данных физико-технических испытаний, своего рода теорией эксперимента, указывающей во всех тех случаях, когда решение дифференциальных уравнений физики наталкивается на трудности, путь к такой постановке опытов, что их результаты могут быть распространены на всю область изучаемых явлений.
В последнее время теория подобия не только использует уравнения физики для обобщения опытных данных, но и, обратно, при выводе дифференциальных уравнений она дает указания, с одной стороны, о введении в уравнения критериев подобия и безразмерных переменных и, с другой стороны, об использовании обобщения методами теории подобия опытных данных, являющихся исходными для составления уравнений. В качестве примера этого нового направления теории подобия можно привести установлении для турбулентного потока автомодельности отдельно для пограничного слоя и отдельно для турбулентного ядра, что позволяет получить более простую и точную формулу гидравлического сопротивления труб. Таким образом, теория подобия на наших глазах становится неотъемлемой частью теоретической физики.
Список литературы
Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. — 10-е изд., доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987 г. — 432 с.
Веников В. А., Веников Г. В. Теория подобия и моделирования (применительно к задачам электроэнергетики): Учебник для вузов по спец. «Кибернетика электр. систем». — 3-е изд., переработанное и доп. — М.: Высшая школа, 1984. — 439 с., ил.
Кирпичев М. В. Теория подобия. — Изд. АН СССР, 1953, 94с.
Веников В. А. Теория подобия и моделирования. — М.: Высшая школа, 1976. — 479 с.
Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений: справочное пособие. Под ред. Б. С. Касаткина. — К., Наукова думка, 1981 г.