Самостоятельная работа № 2

Информационная карта к уроку

По теме: Показательные неравенства

Цель научиться решать показательные неравенства

1. Теория

Рассмотрим решение показательных неравенств вида , где b – некоторое рациональное число. Если a >1, то показательная функция монотонно возрастает и определена при всех х. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству . Если 0< a <1, то показательная функция монотонно убывает и определена при всех х. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству

 

Рассмотрите приведенные ниже примеры решения показательных неравенств вида .

Пример 1. Решим неравенство

Запишем неравенство в виде . Т. к. , то показательная функция возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .

Пример 2. Решим неравенство .

Запишем неравенство в виде .

Т. к. , то показательная функция убывает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .

Самостоятельная работа № 1

Решите неравенства и дайте обоснование решения неравенств (см. примеры).

1. Прочитайте теорию (см. ниже).

Теория

Рассмотрим решение показательных неравенств вида Где f (x) и g (x) некоторые функции зависящие от x. Частным случаем неравенств вида являются неравенства вида , где b – некоторое действительное число. Для решения неравенств рассмотренных видов используется свойство возрастания или убывания показательной функции. Решим неравенство (*). Рассмотрим показательную функцию . И рассмотрим значения показательной функции при t1=f(x) и при t2=g(x). Перепишем данное неравенство (*) в виде (**). Если a >1, то функция возрастает. Тогда неравенство (**) равносильно неравенству . А данное неравенство (*) неравенству . Если 0< a <1, то функция убывает. Тогда неравенство (**) равносильно неравенству . А данное неравенство (*) неравенству .

Рассмотрите приведенные ниже примеры решения показательных неравенств вида

Пример 1. Решите неравенство

Запишем неравенство в виде . Показательная функция возрастает (3>1). Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Откуда . Решив квадратное неравенство, получим –1< x <2. Ответ: (–1;2).

Пример 2. Решите неравенство

Запишем неравенство в виде . Показательная функция возрастает (2>1). Поэтому данное неравенство равносильно неравенству , откуда . Решив квадратное неравенство, получим x <–3 или x >1.

Ответ: .

Самостоятельная работа № 2

1. Решите неравенства. Дайте обоснование решения неравенств (см. примеры).

1. Решение некоторых показательных неравенств сводится к решению квадратных неравенств.

Рассмотрите пример такого показательного неравенства.

Пример. Решим неравенство

Пусть , тогда получим квадратное неравенство .

Так как , то получим, что совокупность

Первое неравенство не имеет решений, так как при всех . Второе неравенство можно записать в виде .

Ответ: .

Самостоятельная работа№ 3

1. Решите неравенства:

Домашнее задание: § 13, № 233