Обучающие функции задач этого типа определяются целями усвоения взаимосвязей между величинами, умением находить одну из величин по двум другим. Общим для всех задач этой группы является наличие в их условии трех величин, связанных прямо пропорциональной или обратно пропорциональной зависимостью. Выделение этих величин из условия и правильная их формулировка – важный момент работы над задачей. Удобно краткую запись условия оформлять в виде таблицы. Заполнение таблицы заставляет ученика внимательно читать текст задачи, представить ситуацию, описанную в условии задачи, осознать связи между величинами.
При оформлении таблиц желательно придерживаться такого порядка: первый столбец — единичная величина (масса 1 предмета, цена, скорость, норма выработки за единицу времени и т.д.), второй столбец — количество таких единиц (предметов, часов, дней и т.д.), третий столбец — общая масса, общее расстояние, общая работа и т.д.
Обычно условием задачи задаются значения двух величин для двух разных ситуаций, третья величина — одинаковая. Разнотипность задач создается тем, какая из величин одинаковая, какую величину надо найти и т.д. Решение задач связано со знанием трех правил: как найти каждую из трех величин, зная две другие. Эти правила повторяются при решении каждой задачи.
55 (127.57). На 6 одинаковых костюмов израсходовали
18 м ткани. Сколько метров ткани надо
на 9 костюмов?
Условию задачи соответствует таблица:
| Расход ткани на один костюм | Количество костюмов | Всего ткани израсходовали (общий расход ткани) |
| Одинаковый | 6 9 | 18 м ? |
Обращаем внимание учащихся на 3 выделенные величины, на их формулировку, значение, зависимость между ними.
— Как найти расход ткани на один костюм? (Надо общий расход ткани поделить на количество костюмов.)
— Как найти количество костюмов? (Надо общий расход ткани поделить на расход ткани на один костюм.)
— Как найти общий расход ткани? (Надо расход ткани на 1 костюм умножить на количество костюмов.)
Условие задачи задает две ситуации: 1) сшили 6 костюмов и израсходовали на это 18 м ткани; 2) сшили 9 костюмов и израсходовали неизвестное количество ткани.
Одинаковой “единичная” величина для двух ситуаций: на пошив одного костюма расходовали одинаковое количество ткани и в первой, и в другой ситуации.
Задача носит условное название “нахождение четвертого пропорционального” (требуется найти четвертое число (знак “?”), если известны три остальные (6, 18, 9)).
Предварительно можно сделать прикидку: на 9 костюмов ткани должно быть больше, чем на 6 костюмов. Значит, в ответе должно быть число больше 18.
Поиск решения задачи можно проводить аналитическим или синтетическим способом.
Анализ.
— Какой главный вопрос задачи? (Сколько метров ткани израсходовали на 9 костюмов? или Какой общий расход ткани на 9 костюмов?)
— Какие величины надо знать, чтобы ответить на этот вопрос? (Надо знать две величины: расход ткани на 1 костюм и количество костюмов.)
— Какая из этих величин известна? (Количество костюмов — 9.) Какая неизвестна? (Расход ткани на 1 костюм.)
— Что известно про расход ткани на 1 костюм во второй ситуации? (Он такой же, как и для первых 6 костюмов.)
— Что надо знать, чтобы найти расход ткани на 1 костюм? (Надо знать две величины: общий расход ткани и количество сшитых из нее костюмов.) Известны нам эти величины? (Да, из 18 м ткани сшили 6 костюмов.)
Синтез. Зная общий расход ткани (18 м) и количество сшитых из нее костюмов (6 к.), можем найти расход ткани на 1 костюм действием деления. Зная расход ткани на 1 костюм и количество костюмов, которые надо сшить (9 к.), найдем общий расход ткани действием умножения.
? 1) 18: 6 = 3 (м) — расход ткани на 1 костюм,
2) 3 × 9 = 27 (м) — расход ткани на 9 костюмов.
?. 9
18: 6
Данный способ решения задачи основан на нахождении постоянной величины. Так как постоянная величина здесь «единичная», то его иногда называют “способ приведения к единице”.
Проверку решения задачи удобно сделать методом составления и решения обратных задач. Всего обратных задач 3, по количеству заданных условием значений величин. Их легко получить, если в таблице заменить одну из известных величин вопросом, а вопрос — числом, полученным в результате решения задачи. Каждая из обратных задач — также задача на нахождение четвертого пропорционального. Каждую из этих задач можно сформулировать по таблице и решить устно.
| Расход ткани на один костюм | Количество костюмов | Всего ткани израсходовали (общий расход ткани) |
| Одинаковый | 6 9 | ? 27 м |
| Расход ткани на один костюм | Количество костюмов | Всего ткани израсходовали (общий расход ткани) |
| Одинаковый | ? 9 | 18 м 27 м |
| Расход ткани на один костюм | Количество костюмов | Всего ткани израсходовали (общий расход ткани) |
| Одинаковый | 6 ? | 18 м 27 м |
В качестве дополнительной работы над задачей можно решить ее другим способом. Для этого условие задачи представим в виде чертежа:
18 м
? м
Первый отрезок показывает количество ткани, израсходованной на 6 костюмов, второй — на 9 костюмов.
Первый отрезок состоит из 6 равных частей, второй — из 9 таких частей. Второй отрезок на 3 части длиннее.
1) 18: 6 = 3 (м) — составляет 1 часть
(расход ткани на 1 костюм),
2) 3 × 3 = 9 (м) — составляют 3 части,
(расход ткани на 3 костюма),
3) 18 + 9 = 27 (м) — израсходовано на 9 костюмов.
Числовые данные задачи позволяют увидеть еще один способ решения. Первый отрезок можно разделить на 2 части (по 3 маленьких отрезка), второй отрезок — на 3 такие части. Отсюда:
1) 18: 2 = 9 (м) — одна часть,
2) 9 × 3 = 27 (м) — второй отрезок.
Ответ: 27 метров.
Аналогичная работа проводится при решении задач:
148.60, 169.64, 313. 92.
56 (258.81). По чертежу можно составить такую задачу:
В двух одинаковых кусках 28 м ткани.
Сколько ткани в трех таких кусках?
| В одном куске ткани | Количество кусков | Всего ткани |
| Одинаково | 2 3 | 28 м ? |
Решение задачи аналогично задаче 55.
57(237.77). Условие задачи задано таблицей:
| Норма расхода ткани на 1 платье | Количество платьев | Израсходовано ткани (общий расход ткани) |
| Одинаковая | 8 ? | 24 м 27 м |
Отличие данной задачи от предыдущей: неизвестно значение другой величины (количество платьев). Составив по таблице задачу, дальше проводим работу, аналогичную задаче 56.
Задача решается способом “приведения к единице”:
1) 24: 8 = 3 (м) — расход ткани на 1 платье,
2) 27: 3 = 9 (платьев) — можно сшить из 27 метров ткани.
Можно заметить такой момент: на 1 платье израсходовано 3 м ткани. Во второй раз израсходовано ткани больше, чем в первый раз на 3 м (27 - 24 = 3). Почему? (Потому что сшили больше платьев). На сколько? (На одно.) Всего сшили 8 + 1 = 9 (платьев). Получили второй способ решения.
Аналогичная задача: 444.117.
58 (434.115). В пекарне за 3 дня израсходовали 48
мешков муки. На сколько дней хватит
82 мешков, если каждый день будет
расходоваться такое же количество
муки, как за первые 3 дня?
Выделяем величины и оформляем таблицу:
| Расход муки за 1 день | Количество дней | Общий расход муки |
| Одинаковый | 3 ? | 48 мешков 82 мешка |
Работа над задачей проводится аналогично предыдущей.
Особенность данной задачи состоит в том, что второе действие — деление с остатком.
1) 48: 3 = 16 (кг) — расход муки за 1 день,
2) 82: 16 = 5 (ост. 2).
Получившийся результат деления означает: муки хватит на 5 дней и еще 2 мешка муки останется.
59 (194.69). По рисунку составляем задачу. Например такую:
В один ларек привезли 42 кг яблок в 6
ящиках, а во второй — 2 таких ящика.
Сколько килограммов яблок привезли во
второй ларек?
Выделяем три величины и записываем условие таблицей:
| Масса 1 ящика | Количество ящиков | Общая масса |
| Одинаковая | 6 2 | 42 кг ? |
Работа над задачей такая же, как над задачей 55. Задача решается теми же способами.
Особенностью же этой задачи является то, что числовые данные, заданные ее условием, позволяют решить ее еще одним способом, который условно назовем “способ отношений”. В его основе — прямо пропорциональная зависимость между количеством ящиков и их общей массой: во сколько раз больше количество ящиков, во столько раз больше их общая масса при одинаковой массе одного ящика. “Открыть” второй способ помогут вопросы:
— В какой ларек привезли меньше ящиков с яблоками? (Во второй.)
— Во сколько раз? (Сколько раз по 2 ящика содержится в 6 ящиках)
Если во второй ларек привезли ящиков в несколько раз меньше, то и общая их масса будет во столько же раз меньше.
Этому способу решения соответствует схема рассуждений:
6: 2 1) 6: 2 = 3 (раза)
42:? 2) 42: 3 = 14 (кг).
?
Ответ: 14 килограммов яблок привезли во второй ларек.
Аналогичные способы решения имеют задачи:
219.73.
| Масса 1 ящика | Количество ящиков | Общая масса |
| Одинаковая | 3 ? | 21 кг 42 кг |
402.109.
| Масса масла из 1л молока | Количество литров молока | Общая масса масла |
| Одинаковая | 25 л 75 л | 1 кг = 1000 г ? |
110.149.
| Выработка за 1 час | Количество часов | Общая выработка |
| Одинаковая | 3 ч 6 ч | 240 шестеренок ? |
206.170 — решается только способом отношений:
| Съедено листьев за 1 час | Количество часов | Всего съедено листьев |
| Одинаково | 2 ч ? | 3 лист. 12 лист. |
60 (223.74). В ларек привезли 64 кг слив в ящиках, по 8
кг в каждом, и столько же ящиков
груш, по 9 кг в каждом. Сколько
килограммов груш привезли?
Выделив величины из условия задачи, составляем таблицу:
| Масса 1 ящика | Количество ящиков | Общая масса |
| 8 кг 9 кг | Одинаковое | 64 кг ? |
Отличие данной задачи от предыдущих в том, что одинаковая величина здесь — вторая. Работа по условию задачи и поиск решения аналогичны, как в задаче 55.
Задача решается способом нахождения постоянной величины:
? 1) 64: 8 = 8 (ящиков),
2) 9 · 8 = 72 (кг).
9.?
64: 8
Ответ: 72 кг весят ящики с грушами.
61 (151.159). Для подарков купили одинаковое количество
пачек печенья и коробок конфет. Пачка
печенья весила 200 г, а коробка конфет —
300 г. Все печенье весило 1 кг. Сколько весили
конфеты?
Краткая запись условия представляется таблицей:
| Масса 1пачки (коробки) | Количество пачек (коробок) | Общая масса |
| 200 г 300 г | Одинаковое | 1 кг = 1000 г ? |
1) 1000: 200 = 5 (шт.) — столько было пачек печенья
и коробок конфет,
2) 300 · 5 = 1500 (г) = 1 кг 500 г — масса конфет.
Ответ: купили 1 кг 500 г конфет.
62 (146.157). Для награждения победителей олимпиады
по математике купили 6 блокнотов по цене
40 р. и несколько альбомов по цене 80 р.
Стоимость блокнотов и альбомов
одинаковая. Сколько подарков приготовили
для победителей?
Данную задачу характеризуют три величины: цена, количество, стоимость. Оформим условие таблицей:
Цена Количество Стоимость
| Блокнот Альбом | 40 р. 80 р. | 6 ? | 
| ? | Одинаковая |
Одинаковая величина — третья.
Подход к решению задачи такой же, как в предыдущих задачах.
Проанализировав условие задачи, величины, их значение, связь между ними, получаем 2 способа решения:
С п о с о б 1 (нахождение постоянной величины).
1) 40 · 6 = 240 (р.) — стоимость всех блокнотов
(и стоимость всех альбомов),
2) 240: 80 = 3 (альбома),
3) 6 + 3 = 9 (подарков).
С п о с о б 2 (способ “отношений”).
Цена предметов и их количество при одинаковой стоимости связаны обратно пропорциональной зависимостью: во сколько раз больше цена, во столько раз меньше количество предметов при одинаковой стоимости.
1) 80: 40 = 2 (раза) — во столько раз цена альбома больше цены
блокнота и во столько же раз количество
альбомов меньше количества блокнотов.
2) 6: 2 = 3 (альбома),
3) 6 + 3 = 9 (подарков).
Ответ: приготовили 6 подарков.
63 (108.202). 5 альбомов для рисования стоят столько
же, сколько 6 одинаковых блокнотов.
Цена альбома 384 р. Определить цену
блокнота.
Условию задачи соответствует таблица:
| Цена | Количество | Стоимость | |
| Альбомы Блокноты | 384 р. ? | 5 6 | Одинаковая |
1) 384 · 5 = 19200 (р.) — стоимость всех альбомов
(и стоимость всех блокнотов),
2) 1920: 6 = 320 (р.) — цена блокнота.
Ответ: 320 р. стоит блокнот.
64.(40.131). Для школы было куплено одинаковое
количество тетрадей и блокнотов на
сумму 600 р. Цена тетради 20 р., а
блокнота — 10 р. Сколько всего
тетрадей и блокнотов было куплено?
Условие задачи можно смоделировать рисунком:
 ? тетр.
20 р. 20 р 20 р
...
10 р 10 р... 10 р
? бл.
|
| 600 р. |
или представить в виде таблицы:
Цена Количество Стоимость
| Тетрадь Блокнот | 20 р. 10 р. | ? Одинаковое ? | 
| ? 600 р. |
Из тетради и блокнота сделаем один комплект (одну пару).
Зная цену тетради (20 р.) и цену блокнота (10 р.), можно найти цену комплекта (тетрадь и блокнот). Зная стоимость покупки (600 р.) и цену одного комплекта, можно найти количество комплектов (пар).
Поиск решения можно вести по схеме:
20 + 10 1) 20 + 10 = 30 (р.) — цена одного
комплекта (одной пары),
600:? 2) 600: 30 = 20 (комплектов).
?
Куплено 20 комплектов. В каждом комплекте 1 блокнот и 1 тетрадь. Куплено 20 блокнотов и 20 тетрадей. Всего предметов куплено:
3) 20 · 2 = 40 (шт.)
Ответ: купили 40 блокнотов и тетрадей.
176.163. — аналогичная.
65 (197.167). В двух мешках 81 кг картофеля. Если
этот картофель разложить поровну в
пакеты, то картофель из одного мешка
поместится в 12 пакетах, а картофель
из другого мешка — в 15. Сколько весит
пакет картофеля?
Выделив 3 величины, оформляем таблицу
Масса Количество Масса всех
1 пакета пакетов пакетов
| I II | Одинаковая | 12 15 | 81 кг |
Поиск решения по схеме:
? 1) 12 + 15 = 27 (пакетов) — всего,
2) 81: 27 = 3 (кг) — масса 1 пакета.
81:?
Ответ: пакет картофеля весит 3 кг.
12 + 15
66 (337.96). На 3 дня 6 овцам дают 36 кг сена.
Сколько сена дают одной овце на 1 день?
Можно выделить две группы из трех пропорциональных величин:
расход сена на 1 овцу— количество овец — общий расход сена,
расход сена за 1 день — количество дней — общий расход сена.
Задачу можно решать, оформив условие в виде двух взаимно связанных таблиц.
С п о с о б 1.
| Расход сена на 1 овцу за 1 день | Количество дней | Общий расход сена на 1 овцу за 3 дня |
| ? | 3 | ? |
| Расход сена на 1 овцу за 3 дня | Количество овец | Общий расход сена на 6 овец за 3 дня |
| ? | 6 | 36 кг |
Чтобы узнать расход сена на 1 овцу за 1 день, надо знать 2 величины: количество дней и общий расход сена за эти дни на 1 овцу. Известно количество дней — 3. Неизвестно, какой общий расход сена за 3 дня на 1 овцу. Чтобы найти расход сена за 3 дня на 1 овцу, надо знать количество овец и общий расход сена для них за 3 дня. Эти величины известны: 6 овец и 36 кг сена.
? 1) 36: 6 = 6 (кг) — расход сена на 1 овцу
за 3 дня,
?: 3 2) 6: 3 = 2(кг) — расход сена на 1 овцу
за 1 день.
36: 6
С п о с о б 2.
| Расход сена на 1 овцу за 1 день | Количество овец | Общий расход сена на 6 овец за 1 день |
| ? | 6 | ? |
| Расход сена на 6 овец за 1 день | Количество дней | Общий расход сена на 6 овец за 3 дня |
| ? | 3 | 36 кг |
1) 36: 3 = 12 (кг) — расход сена за 1 день для 6 овец,
2) 12: 6 = 2 (кг) — расход сена на 1 овцу за 1 день
Запись условия можно оформить одной таблицей в сокращенном виде, опустив некоторые промежуточные величины
| Количество дней | Количество овец | Общий расход сена |
| 3 1 | 6 1 | 36 кг ? |
Величины “количество дней” и “общий расход сена” находятся в прямо пропорциональной зависимости: во сколько раз больше (меньше) количество дней, во столько же раз больше (меньше) общий расход сена. Величины “количество овец” и “общий расход сена” также находятся в прямо пропорциональной зависимости: во сколько раз больше (меньше) количество овец, во столько же раз больше (меньше) общий расход сена.
Для ответа на вопрос задачи общий расход сена надо уменьшить в 3 раза (так как количество дней уменьшилось в 3 раз) и в 6 раз (так как количество овец уменьшилось в 6 раз).
Всего количество сена надо уменьшить в 18 раз. Получаем еще один способ решения:
1) 6 × 3 = 18 (раз), 2) 36: 18 = 2 (кг).
Ответ: 2 кг сена дают одной овце на 1 день.
67 (345.98). Доильным аппаратом доярка за 1 ч
может выдоить 20 коров. Сколько коров
могут выдоить 3 доярки таким же
аппаратом за 2 ч?
Условие можно оформить в виде таблицы:
| Количество часов | Количество доярок | Количество коров |
| 1 2 | 1 3 | 20 ? |
Количество выдоенных коров прямо пропорционально количеству часов и количеству доярок.
Задача решается тремя способами.
С п о с о б 1.
1) 20 × 3 = 60 (коров) — выдоят 3 доярки за 1 час,
2) 60 × 2 = 120 (коров) — выдоят 3 доярки за 2 часа.
С п о с о б 2.
1) 20 × 2 = 40 (коров) — выдоит 1 доярка за 2 часа,
2) 40 × 3 = 120 (коров) — выдоят 3 доярки за 2 часа.
С п о с о б 3.
1) 3 × 2 = 6 (раз) — во столько раз увеличится количество коров,
2) 20 × 6 = 120 (коров) — выдоят 3 доярки за 2 часа.
Ответ: 120 коров
68 (28.187). На 100 км автомобиль расходует 8 л
бензина. Можно ли на этом автомобиле
из Минска доехать до любого областного
центра и вернуться обратно, израсходовав не
более 60 л бензина?
С п о с о б 1. Выясним, сколько километров может проехать автомобиль, имея 60 л бензина. Ответим для этого на поставленные вопросы.
Сколько раз по 8 л содержится в 60 л?
60: 8 = 7 раз (ост. 4 л), 60 л = 56 л + 4 л.
Сколько километров можно проехать, имея 56 л бензина?
56: 8 = 7 (раз), 100 × 7 = 700 (км).
Сколько километров можно проехать на 4 л бензина?
8: 4 = 2 (раза), 100: 2 = 50 (км).
Сколько всего километров можно проехать на 60 л бензина?
700 + 50 = 750 (км).
Имея 60 л бензина, автомобиль может проехать не более 750 км.
Найдем расстояние, которое должен проехать автомобиль от Минска до каждого областного центра и обратно и сравним его с числом 750.
Брест — 346 × 2 = 692 (км) (692 < 750)
Витебск — 277 × 2 = 554 (км) (554 < 750)
Гомель — 304 × 2 = 608 (км) (608 < 750)
Гродно — 282 × 2 = 564 (км) (564 < 750)
Могилев — 210 × 2 = 420 (км) (420 < 750)
Ответ: имея 60 литров бензина, можно доехать до любого областного центра и вернуться назад.
С п о с о б 2. Выясним, сколько литров бензина понадобится на самую длинную поездку, и сравним с числом 60.
Самая длинная поездка до Бреста и обратно — 692 км. Округлим число 692 до полных сотен, получим 700.
1) 700: 100 = 7 (раз) — число 100 содержится в числе 700,
2) 8 × 7 = 56 (л) — понадобится бензина на 700 км пути.
3) 56 л < 60 л.
Значит, имея 60 л бензина, можно доехать до Бреста и вернуться назад. Так как расстояние от Минска до остальных областных городов меньше, чем до Бреста, то 60 л бензина хватит на любую поездку из Минска в областной центр.
Задачи на движение
Главное назначение задач на движение в том, что они в первую очередь способствуют функциональной пропедевтике, формируют представления о прямой и обратно пропорциональной зависимости между величинами скорость, время, расстояние. В основе решения задач лежит понимание взаимосвязи между этими величинами и умение находить неизвестную величину по двум известным. Развивающие функции задач на движение заключаются в формировании у учащихся умения построить соответствующую модель, исследовать ситуацию, заданную условием задачи, умения делать предположения, проверку, вывод, вносить корректировку в построенную модель задачи, сравнивать.
69 (186.165). Скорость автомобиля 48 км/ч. Одно и
то же расстояние автомобиль проехал
за 2 ч, а велосипедист за 8 ч. Найди
скорость велосипедиста.
Величины, заданные условием задачи, характеризуют движение: скорость движения, время движения, расстояние. Направление движения автомобиля и велосипедиста не влияют на решение задачи, и она сводится к нахождению четвертого пропорционального см. задачу 63). Условие представим таблицей:
| Скорость | Время | Расстояние | |
| Автомобиль Велосипедист | 48 км/ч ? | 2 ч 8 ч | Одинаковое |
Выясняем связи между величинами: чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время; чтобы найти время, надо расстояние разделить на скорость; чтобы найти скорость, надо расстояние разделить на время.
Числовые данные позволяют решить задачу двумя способами.
С п о с о б 1.
48 × 2 1) 48 · 2 = 96 (км) — расстояние,
2) 96: 8 = 12 (км/ч) — скорость велосипедиста.
?: 8
?
С п о с о б 2. Скорость движения и время при одинаковом расстоянии связаны обратно пропорциональной зависимостью: во сколько раз больше время движения, во столько раз меньше скорость.
1) 8: 2 = 4 (раза) — во столько раз больше время движения
велосипедиста, чем автомобиля, (и во столько же раз скорость
велосипедиста меньше скорости автомобиля),
2) 48: 4 = 12 (км/ч) — скорость велосипедиста.
Ответ: 12 километров в час.
70 (229.176). Половину пути вертолет пролетел за 3 ч
со скоростью 240 км/ч. Остальное
расстояние он летел со скоростью 180
км/ч. Сколько времени вертолет
находился в полете?
Условие задачи представим таблицей. При заполнении таблицы уточняем, что оставшееся расстояние также составляет половину пути, т.е. обе части пути равны между собой.
Скорость Время Расстояние
| 240 км/ч 180 км/ч | 3 ч ? |
| ? | Одинаковое |
Решение получаем, рассуждая по схеме:
? 1) 240 · 3 = 720 (км) — половина пути,
2) 720: 180 = 4 (ч) — время, которое затратил
3 +? вертолет на вторую половину пути,
3) 3 + 4 = 7 (ч) — время полета.
?: 180
240. 3 Ответ: 7 часов вертолет находился в пути.
71 (88.143). Из двух муравейников, расстояние между
которыми равно 8 м, навстречу друг
другу одновременно выбежали два
муравья. Один бежал со скоростью 1
см/с, а другой — со скоростью 3 см/с.
Через какое время муравьи встретятся?
Движение каждого из муравьев характеризуют три взаимосвязанные величины: скорость движения, время движения, расстояние. Учитывая, что муравьи движутся навстречу друг другу, обращаем внимание на следующие моменты:
* муравьи выбежали одновременно — значит, время их движения до встречи одинаковое:
* расстояние между муравьями уменьшается (муравьи сближаются);
* если бы муравьи бежали с одинаковой скоростью, то встретились бы посередине пути:
* до встречи большее расстояние пробежит тот муравей, у которого большая скорость.
Условие задачи можно представить чертежом в сочетании с таблицей.
1 см/с 3 см/с
8 м = 800 см
Скорость Время Расстояние
| 1 муравей 2 муравей | 1 см/с 3 см/с | Одинаковое | 800 cм |
Зная скорость первого муравья (1 см/с) и скорость второго муравья (3 см/с), можем найти их общую скорость (скорость сближения — расстояние, на которое муравьи сближаются за 1 с). Зная, с какой скоростью муравьи сближаются, и расстояние, которое они пробегут вместе (800 см), можем найти время их движения.
Первое действие сложение: находим общую скорость. Второе действие — деление: чтобы найти время, надо расстояние разделить на скорость.
1 + 3 1) 1 + 3 = 4 (см/с) — скорость сближения
муравьев,
800:? 2) 800: 4 = 200 (с) — время движения
муравьев до встречи. 
?
Числовые данные задачи позволяют увидеть и другой способ решения, в основе которого лежит прямо пропорциональная зависимость между расстоянием и скоростью: во сколько раз больше скорость движения, во столько раз можно пройти большее расстояние за одно и то же время.
Скорость второго муравья (3 см/с) в 3 раза больше скорости первого муравья (1 см/с). Значит до встречи второй муравей пробежит в 3 раза большее расстояние, чем первый. Покажем это на чертеже:
1 см/с 3 см/с
8 м = 800 см
Первый муравей до встречи пробежал 1 часть расстояния, а второй муравей — 3 такие части. Расстояние 8 м состоит из 4 равных частей.
1) 1 + 3 = 4 (части) — составляет все расстояние,
2)800: 4 = 200(см)—составляет одна часть(столько пробежал
до встречи первый муравей),
3) 200: 1 = 200 (с) — столько времени затратил первый муравей
до встречи (и столько же второй).
Переведем 200 с в минуты:
200: 60 = 3 (ост. 20),
200 с = 3 мин 20 с
Ответ: муравьи встретятся через 3 минуты и 20 секунд.
22.186 — аналогичная.
72 (157.160). Из Минска и Могилева одновременно
навстречу друг другу выехали два
автобуса. Один из них ехал со скоростью
50 км/ч, а другой — 55 км/ч. Через 2 ч
автобусы встретились. Найди расстояние
между Минском и Могилевом.
Выделяем величины, которые характеризуют движение каждого из автобусов: скорость движения, время движения до встречи, расстояние, пройденное до встречи. Автобусы встретились через 2 ч. Значит, время движения до встречи каждого из них — 2 ч. Расстояние между Минском и Могилевом состоит из расстояния, которое проехал до встречи первый автобус, и расстояния, которое проехал до встречи второй автобус.
Покажем условие задачи с помощью чертежа и таблицы:
50 км/ч 55 км/ч
Минск?Могилев
Скорость Время Расстояние
| I II | 50 км/ч 55 км/ч | 2 ч? 2 ч? | 
| ? |
Задачу можно решить двумя способами.
С п о с о б 1.
? 1) 50 × 2 = 100 (км) — проехал до
встречи первый автобус,
?? 2) 55 × 2 = 110 (км) — проехал до
встречи второй автобус,
50. 2 55. 2 3) 100 + 110 = 210(км) — расстояние
между Минском и Могилевом.
С п о с о б 2.
50 + 55 1) 50 + 55 = 105 (км/ч) — скорость сближения
автобусов,
?. 2 2) 105 × 2 = 210 (км)— расстояние между
Минском и Могилевом.
?
Ответ: 210 км.
53.192 — аналогичная задача.
73 (245.179). Из Минска и Киева одновременно навстречу
друг другу выехали два автомобиля и через
5 ч встретились в пути. Скорость одного
автомобиля 65 км/ч. Найди скорость другого
автомобиля. Расстояние между Минском и
Киевом 560 км.
Представим условие задачи чертежом и таблицей:
? 65 км/ч
Минск 560 км Киев
Скорость Время Расстояние
| I II | 65 км/ч ? | 5 ч? 5 ч? | 
| 560 км |
С п о с о б 1.
? 1) 65 × 5 = 325 (км) — проехал первый
автобус до встречи,
?: 5 2) 560 - 325 = 235 (км) — проехал другой
автобус до встречи,
560 -? 3) 235: 5 = 47 (км/ч) — скорость
второго автобуса.
65. 5
С п о с о б 2.
560: 5 1) 560: 5 = 112 (км/ч) — проезжают вместе
автобусы за 1 ч (скорость сближения),
? - 65 2) 112 - 65 = 47 (км/ч) — скорость второго
автобуса.
?
Ответ: 47 км/ч.
74 (91.198). Два теплохода одновременно вышли из
речного порта и поплыли — один вверх по
течению, а другой вниз по течению. Через 5 ч
расстояние между теплоходами составило
370 км. Скорость первого теплохода 28 км/ч.
Определи скорость второго теплохода.
Реши задачу двумя способами.
Анализируя условие задачи, обращаем внимание на следующие моменты:
* теплоходы вышли из одной точки и движутся в противоположных направлениях;
* теплоходы вышли одновременно — значит, время их движения одинаковое — 5 ч;
* расстояние между теплоходами увеличивается (теплоходы удаляются друг от друга);
* расстояние, которое стало между теплоходами через 5 ч, состоит из расстояния, которое прошел первый теплоход, и расстояния, которое прошел второй теплоход.
Условие задачи показываем чертежом и таблицей:
28 км/ч?
370 км
Скорость Время Расстояние
| I II | 28 км/ч ? | 5 ч? 5 ч? |
| 370 км |
Решаем задачу двумя способами.
С п о с о б 1.
? 1) 28 × 5 = 140 (км) — прошел первый
теплоход за 5 ч,
?: 5 2) 370 - 140 = 230 (км) — прошел второй
теплоход за 5 ч,
370 -? 3) 230: 5 = 46 (км/ч) — скорость
второго теплохода.
28. 5
С п о с о б 2.
Таблицу можно представить в другом виде:
Скорость Время Расстояние
| I II | 28 км/ч ? |
| ? 5 ч | 370 км |
Начав движение из одной точки, теплоходы удаляются друг от друга. За 5 ч движения теплоходы удалились друг от друга на 370 км.
Зная эти две величины, можем найти расстояние, на которое удаляются теплоходы друг от друга за 1 ч (общая скорость, скорость удаления). Зная скорость удаления и скорость первого теплохода, можем найти скорость второго теплохода.
370: 5 1) 370: 5 = 74 (км/ч) — прошли вместе
теплоходы за 1 ч (скорость удаления),
? - 28 2) 74 - 28 = 46 (км/ч) — скорость
второго теплохода.
?
Ответ: 46 км/ч.
75 (128.206). Два поезда одновременно вышли из города
в одном направлении. Один шел со
скоростью 70 км/ч, а другой — 85 км/ч.
Какое расстояние будет между
поездами через 2 ч?
В этой задаче идет речь о движении в одном направлении.
Обращаем внимание на моменты, характеризующие движение из одной точки в одном направлении:
* время движения поездов одинаковое — 2 ч.
* поезд, имеющий большую скорость, пройдет за 2 ч большее расстояние, чем поезд, имеющий меньшую скорость.
* поезд, имеющий большую скорость, удаляется от поезда, имеющего меньшую скорость;
* расстояние между поездами увеличивается;
Условие задачи покажем чертежом и таблицей.
70 км/ч