Теорема 4: Множество всех действительных алгебраических чисел представляет собой поле, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел a и b (для частного при b¹0) являются алгебраическими числами.
Доказательство:
Пусть a - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами, корни которого a1, a2, …,an, a и b - корень многочлена j(x) степени m с целыми коэффициентами, корни которого b1, b2, … bm (b=b1). Рассмотрим многочлен:
F(x)= 
(x-(ai+bi))=
= (x-a1-b1) (x-a1-b2) … (x-a1-bm)
(x-a2-b1) (x-a2-b2) … (x-a2-bm)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
(x-an-b1) (x-an-b2) … (x-an-bm) (2)
Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку величин a1, a2, …,an, то некоторые строки переставляется местами, но произведение в целом не изменится. Это значит, что F(x) – симметрический многочлен по отношению b1, b2, … bm. В целом F(x) – симметрический многочлен от двух систем аргументов: a1, a2, …,an и b1, b2, … bm.
Согласно известным теоремам о симметрических многочленах, коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от a1, a2, …,an и b1, b2, … bm, т.е. через целые коэффициенты, f(x) и j(x). Это значит, что коэффициенты F(x) рациональны, и, следовательно, число a+b=a1+b1, являющегося, как это непосредственно видно из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число.
Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел a и b есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому, как это было только что сделано для многочлена (2), рассмотреть многочлен:
F(x)= (x-aibi) (3)
Этот многочлен имеет в качестве одного из своих корней a1b1=ab.
Пусть b - корень многочлена j(x)=b0xn+ b1xn-1+ … bn, (bi – целые числа). Тогда -b является корнем многочлена с целыми коэффициентами.
j(-x)=(-1)nb0xn+(-1)n-1b1xn-1+ … bn, а при b¹0 корень многочлена xnj(
)=b0+b1x+ … bnxn. Таким образом, вместе с b алгебраическими числами являются -b и 
.
Разность может быть представлена в виде a+(-b), т.е. в виде суммы двух алгебраических чисел. При b¹0 частное 
, являясь произведением двух алгебраических чисел, представляет собой так же алгебраическое число.
Если степени алгебраических чисел a и b равны m и n, то, взяв в качестве f(x) и j(x) соответствующие минимальные многочлены будем в (2) и (3) иметь многочлены степени mn, и ab алгебраические числа степени, не большей, чем mn. Многочлены j(x), j(-x), и xn 
одинаковой степени, а, следовательно, b, -b, 
- алгебраические числа одной и той же степени, откуда следует, что и a-b и 
имеют степени не больше, чем mn. Теорема доказана.
Пример:
1) 
и 
алгебраические числа 2-й степени, а 
- алгебраическое число 4 степени. Действительно, если a= , то a2=5+ 
, 24-10a2+1=0, т.е. a корень многочлена f(x)=x4-10x2+1 с целыми коэффициентами, и f(x)=(x- 
)(x- )(x+ 
)(x+ 
) (4)
Из теоремы единственности над полем рациональных чисел множители f(x) должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства (4). Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени меньшей, чем 4, т.е. f(x) – неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а, следовательно, согласно теореме 3, - алгебраическое число 4-й степени.
2) a= 
и b= 
, как легко видеть, это алгебраические числа 6-й степени, а произведение ab= 
- алгебраическое число 3-й степени.