Интегрирование рациональных дробей.

Итак,

При вычислении интегралов вида

если степень числителя выше или равна степени знаменателя, т.е. т п, многочлен в числителе делят на многочлен, стоящий в знаменателе, и таким образом представляют данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной рациональной дроби, т.е. дроби, степень числи­теля которой ниже степени знаменателя, а именно, в виде

.

Интеграл от многочлена вычисляется легко и, следовательно, вся задача сводится к вычислению второго интеграла .

Рассмотрим различные случаи интегрирования рациональных дробей.

I. Многочлен знаменателя имеет различные действительные корни кратности единица. Т.е. разложение многочлена на множи­тели имеет вид:

.

разлагается на простейшие дроби такого типа

.

Далее справа в полученном разложении дроби приводятся к общему знаменателю, после этого приравниваются числители обеих дробей справа и слева.

Коэффициенты А₁, А₂,..., А_п можно найти двумя способами:

1) т.к. многочлены равны, когда равны коэффициенты при одинаковыхстепенях х, то после раскрытия скобок в правом числителе приравнивают коэффициенты справа и слева и таким образом получают систе­му п линейных уравнений с n неизвестными;

2) более простой способ: подставлять в полученное равенство последо­вательно вместо х значения корней х₁, х₂,..., х_п.

Примеры:

1.	Подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших дробей, разложив в знаменателе трехчлен на множители: После приведения справа дробей к общему знаменателю и приравни­вания числителей получаем тождество: При получаем , откуда . При получаем , откуда . При получаем , откуда . Тогда
2.	Степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе, поэтому разделим числитель на знаменатель: Тогда подынтегральная дробь запишется в виде Разложим на простейшие дроби Отсюда следует тождество При получаем , откуда . При получаем , откуда . При получаем , откуда . Таким образом

II. Пусть корни — действительные, некоторые из них кратные. Т.е. разложение многочлена на множители имеет вид:

где

И тогда

Коэффициенты , ,..., находятся такими же способами, что и в первом (I) случае. При применении второго (II) способа кроме значения кор­ней многочлена переменной х даются и другие произвольные зна­чения.

Пример:

Подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших дробей, разложив в знаменатель на множители: После приведения справа дробей к общему знаменателю и приравни­вания числителей получаем тождество: Подставим в обе части тождества последовательно корни , и дополнительные :   При получаем , откуда . При получаем , откуда . При получаем При получаем После подстановки в последние два уравнений значений С и D получим систему: решение которой и . Таким образом, окончательно имеем:

III. Пусть разложение многочлена имеет вид:

,

где все трехчлены имеют дискриминант < 0 (т. е. не разлагаются на линейные множители в действительной области и имеют комплексные корни).

Тогда

В этом случае обычно приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях дробей справа и слева после приведения в пра­вой части к общему знаменателю.

Пример.

Запишем разложение для подынтегральной функций: После приведения справа дробей к общему знаменателю и приравни­вания числителей получаем тождество: Раскроем скобки в правой части и перегруппируем: Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева. : : Const: Таким образом, заданный интеграл принимает вид:

IV. Пусть корни многочлена комплексные, кратные, т.е. в его разложении присутствуют скобки вида ( .

Тогда для каждой такой скобки разложение на простейшие дроби, будет иметь вид:

Неопределенные коэффициенты , находятся способом, изложен­ным в предыдущих разделах.

При этом особое внимание надо обратить на вычисление интегралов типа

В трехчлене обычно выделяется полный квадрат:

где ; и тогда интеграл принимает вид

Этот интеграл вычисляется обычно по рекуррентной формуле. Выведем ее, применяя интегрирование по частям:

И следовательно получаем формулу:

Пример:

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби: После приведения справа дробей к общему знаменателю и приравни­вания числителей получаем тождество: Раскроем скобки в правой части и перегруппируем: Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева, получаем систему для определения коэффициентов:   :   :   : Const: Таким образом, заданный интеграл принимает вид: К последнему интегралу применим выведенную рекуррентную формулу для :