Практика 21.
Главная часть бесконечно-малой.
Определение. Если то функция называется ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ бесконечно-малой .
Фактически, это степенная функция, эквивалентная данной . Если найти коэффициент и степень , то мы найдём такую степенную функцию, график которой наилучшим образом (среди всех степенных) похож на график функции в окрестности точки.
Задача 211. Найти главную часть бесконечно-малой в точке 0.
Решение. Так как точка 0, то , то есть главная часть имеет вид . Запишем отношение данной бесконечно-малой и «эталонной» степенной. Нужно потребовать, чтобы этот предел был 1, ведь мы ищем именно эквивалентную бесконечно-малую.
. Преобразуем выражение с целью его упростить. Домножим и поделим на , этим мы фактически можем заменить на . Параметры C и k пока просто переписываем, не меняя их в процессе преобразований.
= .
Полное сокращение всех будет лишь в случае k=3, а иначе предел 0 или , и не будет равен 1.
, тогда С = 1. Итак, = .
Ответ. .
Изображены графики бесконечно-малой и её главной части:
как видно, вблизи (0,0) они практически неотличимы.
Задачи на поиск главной части по методам и сложности похожи на вычисление lim, но фактически это обратная задача: при вычислении предела внутри нет параметров, а предел неизвестен, здесь же наоборот, известно, что предел равен 1, но внутри выражения неизвестные параметры C, k, которые надо найти, так, чтобы предел был равен 1.
Непрерывность и точки разрыва.
Определение. называется правосторонним пределом функции в точке , если: , так, что при выполняется: .
Обозначается .
Аналогично, называется левосторонним пределом функции в точке , если: , так, что при выполняется: .
Обозначается .
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке определено значение , и оно совпадает как с правосторонним так и с левосторонним пределами:
.
Если это не выполняется, точка называется точкой разрыва.
Типы точек разрыва.
Название | Устранимый | Разрыв 1 рода | Разрыв 2 рода |
Определение | , . | Один или оба 1-ст lim равны или не сущ. | |
Примеры |
Примеры точка разрыва
точки разрыва 2 и 3.
. Предел слева равен 0, справа . График:
Задача 212. Найти точку разрыва и охарактеризовать её тип: .
Решение. Здесь при любом верно , а при любом верно . В точке 0 односторонние пределы различны.
Ответ. Разрыв 1 рода
Задача 213. Охарактеризовать тип точки , если .
Решение. Односторонние пределы для этой функции таковы:
= = , т.к. если и при этом то .
= = , т.к. если и при этом то .
Ответ. Разрыв 1 рода.
Задача 214. Исследовать тип разрыва для .
Решение. И при , и при здесь , а тогда . Тогда для обоих односторонних пределов получается одинаково: . Тогда разрыв устранимый.
К тому же функция чётная, и так ясно, что с двух сторон симметричные ветви графика. Так что достаточно было вычислить только с одной стороны. Ответ. устранимый разрыв.
Примечание. График этой функции:
Задача 215. Найти точки разрыва и определить их тип .
Решение. Вычислить значение функции обычным путём здесь нельзя лишь в точках где знаменатель обращается в 0. Эти две точки подозрительные на существование разрыва, мы и будем исследовать.
Во-первых, можно представить так: .
Надо найти оба односторонних предела в каждой из точек.
Рассмотрим .
Для предела справа, и модуль раскрывается без лишнего знака:
= = = .
Для предела слева, , и при раскрытии модуля знак минус:
= = = .
Получились разные константы. Значит, разрыв 1-го рода.
Рассмотрим .
Здесь и раскрываются одинаково, и равны 2 и . А отличие в том, какого знака бесконечно-малая в знаменателе.
= = = .
= = = .
Хотя бы с одной стороны предел или не существует, значит разрыв 2-го рода.
Ответ. разыв 2 рода, разрыв 1 рода.
Чертёж к этой задаче. Синим цветом показан график этой функции, жёлтым - вертикальная асимптота, где разрыв 2-го рода.
Задача 216. Исследовать тип точки разрыва для .
Решение. Ищем односторонние пределы вокруг 0, но при этом каждый раз домножаем и делим на , так чтобы избавиться от синуса в выражении.
= = = = 1.
= = = = .
Здесь знак модуля раскрывается по-разному в зависимости от того, справа или слева от 0 мы находимся. Это либо либо . Получились различные числа. Разрыв 1-го рода.
Ответ. разрыв 1 рода.
Примечание. Вот график этой функции:
Задача 217. Выяснить тип точки для .
Решение. Левосторонний предел здесь должен вычисляться с помощью первой ветви функции, а правосторонний с помощью второй. = 0. = 0. Кроме того, .
Значение функции существует и равно как левостороннему пределу, так и правостороннему. 0 это точка непрерывности.
Ответ. точка непрерывности.
График этой функции:
Задача 218. Найти точки разрыва и определить их тип для функции: .
Решение. Сначала ищем точки, подозрительные на разрыв, то есть где возможен разрыв. Во-первых, это точка стыковки двух ветвей графика, то есть . Там надо предел слева искать с помощью одной функции, а справа - с помощью другой. Кроме того, и . Точка не должна рассматриваться, т.к. правее 1 уже действует другая ветвь функции.
Рассмотрим :
, . Кроме того, значение в точке 1 тоже существует и равно .
Тогда точка непрерывности.
Рассмотрим :
. . разрыв 2-го рода.
Рассмотрим .
, .
разрыв 1-го рода.
Ответ. разрыв 2 рода, точка непрерывности,
разрыв 1 рода.
На графике синим цветом показана левая ветвь функции, зелёным - правая, жёлтым - асимптота (она там, где разрыв 2 рода). График этой функции:
Асимптоты.
Если то .
Горизонтальные: Если , , то асимптота горизонтальная, эта ситуация имеет место, когда .
Пример. две односторонние горизонтальные асимптоты: и .
Вертикальные: Если , , то асимптота вертикальная (это соответствует разрыву 2 рода, ).
Наклонные асимптоты.
Задача 219. Вывод формул и .
Так как точка на графике и на асимптоте сближаются то:
.
Отсюда следует, что , то есть
.
Рассмотрим прямую , параллельную асимптоте .
Если разность ординат для точки на графике и соответствующей точки на прямой стремится к 0, то разность ординат для точки на графике и точки на прямой стремится к . Отрезок, соответствующий этому расстоянию, отмечен красным на чертеже.
Если две величины, и , неограниченно возрастают, и при этом разность между ними стремится к 0, то их отношение стремится к 1, то есть . Но ведь также очевидно, что = = 1.
Тогда рассмотрим , этот предел равен 1. Однако если сократить в нём то , а тогда .
Итак, мы получили формулы для нахождения . На практике сначала надо найти , а уже затем .
Пример 220. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Во-первых, сразу видно точку разрыва 2-го рода . Есть вертикальная асимптота .
Найдём наклонную асимптоту.
(мы просто добавили лишний в знаменателе, тем самым поделили на ).
= = = 1. Итак, .
Обратите внимание: здесь предел одинаково вычисляется при и при , но бывают примеры, в которых по-разному, то есть на правой и левой полуплоскости могут быть разные асимптоты.
Найдём = = = = = = 2.
Ответ. Вертикальная x = 2, наклонная y = x + 2.
График выглядит так:
Задача 221. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Во-первых, знаменатель не обращается в 0, поэтому точек разрыва 2-го рода нет, и нет вертикальных асимптот. Горизонтальных асимптот также нет, т.к. , предел не константа С.
Ищем наклонные асимптоты.
= = 1.
= = =
. Асимптота . Чертёж:
Ответ. Асимптота .
Задача 222. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Во-первых, при знаменталь обращается в 0, здесь разрыв 2 рода. То есть, вертикальная прямая это вертикальная асимптота. Теперь ищем наклонные асимптоты.
= = 2. Причём этот результат не зависит от того, предел при или , ведь обе старшие степени чётные. Нашли , т.е. есть наклонная асимптота типа . теперь найдём .
= = =
= = . Итак, и опять же, это независимо от или . Значит, прямая это двусторонняя асимптота.
Ответ. Вертикальная и наклонная . График:
Задача 223. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Область определения: . Здесь нет знаменателя, который мог бы обращаться в 0, поэтому вертикальных асимптот нет. Функция не ограниченная при , поэтому и горизонтальных асимптот нет, так что ищем только наклонные. Функция чётная, поэтому можем искать только при на правой полуплоскости, а на левой график симметричен, так что если будет асимптотой на правой полуплоскости, то
на левой. А вот двусторонняя асимптота здесь никак не могла бы быть, ведь график симметричен относительно вертикальной оси, т.к. функция чётная.
= = = 1.
= =
здесь умножили на сопряжённое, как в таких пределах делали раньше.
= = .
Итак, , , на правой полуплоскости асимптота . Тогда из-за симметрии графика чётной функции на левой полуплоскости наклонная асимптота .
Ответ. Две односторонние асимптоты и .
График (асимптоты показаны зелёным цветом).
Задача 224. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Функция не является чётной, поэтому здесь придётся при и искать пределы каждый отдельно.
= = = .
= = =
= = = 0.
Итак, , , на правой полуплоскости асимптота .
На левой полуплоскости:
= =
= .
= =
= = но так как отрицательно то
. Итак, на левой полуплоскости , . Здесь не наклонная, а горизонтальная асимптота, .
Ответ. На правой полуплоскости наклонная асимптота ,
на левой горизонтальная асимптота .
Вот график этой функции:
Задача 225. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Если обращается в 0 в точках , то стремится к при тех же абсциссах. Здесь точки разрыва 2-го рода, и их количество бесконечно. Вертикальные асимптоты .
График:
Ответ. Вертикальные асимптоты .