ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. - числовой ряд, числа
- члены ряда.
2. - общий член ряда. Нижний индекс
- номер члена ряда.
3. Сумма первых членов ряда
-
-ая частичная сумма ряда.
4. - сумма ряда
5. Если ряд называется сходящимся. Если же
или не существует, то ряд называют расходящимся.
6. - остаток ряда.
Свойства рядов
10. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число его членов, то полученный ряд также будет сходящимся.
Верно и обратное утверждение: если сходится ряд, полученный отбрасыванием конечного числа членов у данного ряда, то и данный ряд также сходится.
20. Если сходится, и его сумма равна
, то ряд
, где
- произвольное число, также сходится, причем его сумма равна
.
30. Пусть ряды и
сходятся, и их суммы, соответственно равны
и
. Тогда ряд
также сходится, причем его сумма равна
.
Исследование сходимости рядов обычно сводится к вычислению пределов. При этом часто используются известные условия эквивалентности бесконечно малых, которые применительно к рядам при принимают вид:
(формула Стирлинга)
Часто приходится иметь дело с пределами:
.
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю при
, т.е.
.
Следствие: Если , то ряд расходится.
Признаки сравнения
Пусть даны два числовых ряда с положительными членами:
(1)
(2)
Первый признак сравнения. Если для некоторого числа при всех натуральных
выполняется неравенство
1) и ряд (2) сходится, то ряд (1) тоже сходится;
2) и ряд (2) расходится, то ряд (1) тоже расходится.
Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
При использовании признаков сравнения исследуемый ряд часто сравнивают
с бесконечной геометрической прогрессий ,
где а – любой число, отличное от нуля, которая при сходится, а при
расходится, или
С рядом Дирихле
, где
, который при
сходится, при
расходится.
При этот ряд
называется гармоническим рядом.
Признак Даламбера
Пусть для ряда ,
существует предел
. Тогда
1) если , то ряд сходится,
2) если , то ряд расходится,
3) если , то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя и в этом случае нужно применить другой признак сходимости.
Замечание: Признак Даламбера применяют, если общий член ряда содержит показательные функции и/или факториалы
или аналогичные по скорости роста функции.
Признак Коши
Пусть для ряда ,
существует предел
. Тогда
1) если , то ряд сходится,
2) если , то ряд расходится,
3) если , то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя и в этом случае нужно применить другой признак сходимости.
Замечание: Признак Коши используется, если общий член ряда содержит ,
или аналогичные по скорости роста функции.
Интегральный признак Коши-Маклорена
Если функция на промежутке
является непрерывной, положительной и невозрастающей, то числовой ряд
, где
сходится или расходится одновременно с интегралом
.
Замечание 1. Нижним пределом интегрирования может быть любое другое положительное число из области определения функции.
Замечание 2. С помощью интегрального признака легко доказать, что ряд Дирихле сходится при
и расходится при
.
Признак Лейбница
Если члены знакочередующегося ряда (
)
1) монотонно убывают по абсолютной величине, то есть ;
2) и ,
То данный ряд сходится.
Замечание: Если знакочередующийся ряд (
) сходится, то его сумма
положительна и не превосходит первого члена ряда, то есть
.
Если знакочередующийся ряд начинается с отрицательного члена
(
), и для него выполнены условия признака Лейбница, то он сходится и его сумма
отрицательна и удовлетворяет неравенству
.
Следствие: При замене суммы ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, суммой
его первых членов
абсолютная величина ошибки
не превышает абсолютного значения первого из отброшенных членов, то есть
. Знак ошибки
совпадает со знаком первого из отброшенных членов.