Числовые ряды. Примеры решений
Рекомендую следующий порядок изучения темы:
1) Числовые ряды:
- понятие числового ряда;
- сходимость числовых рядов;
- необходимый признак сходимости ряда, тут же обобщённый гармонический ряд;
- признаки сравнения положительных числовых рядов;
- предельный признак сравнения.
2) Нахождение суммы ряда
3) Признак Даламбера. Признаки Коши.
4) Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
5) Ряды повышенной сложности – тем, кому не хватило обычных =)
Далее плавно и гармонично переходим к изучению функциональных и степеннЫх рядов.
Для сверхбыстрой подготовки по теме есть экспресс-курс в pdf формате, с помощью которого реально «поднять» практику буквально за день.
Поехали:
Понятие числового ряда
В общем виде числовой ряд можно записать так: 
.
Здесь:
– математический значок суммы;
– общий член ряда (запомните этот простой термин);
– переменная-«счётчик». Запись 
обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас 
, затем 
, потом 
, и так далее – до бесконечности. Вместо переменной иногда используется переменная 
или 
. Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля 
, с двойки 
либо с любого натурального числа.
В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто:
– и так далее, до бесконечности.
Cлагаемые 
– это ЧИСЛА, которые называются членами ряда. Если все они неотрицательны (больше либо равны нулю), то такой ряд называют положительным числовым рядом.
Пример 1
Записать первые три члена ряда
Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.
Сначала , тогда: 
Затем , тогда: 
Потом , тогда: 
Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ: 
Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности,
в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.
Пример 2
Записать первые три члена ряда
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока
Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:
Пример 3
Записать первые три члена ряда
На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:
Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то есть не выполнять действия: 
, 
, 
. Почему? Ответ в виде 
гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.
Иногда встречается обратное задание
Пример 4
Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда
Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть.
В данном случае:
Для проверки полученный ряд 
можно «расписать обратно» в развернутом виде.
А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:
Пример 5
Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда
Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде
Сходимость числовых рядов
Одной из ключевых задач темы является исследование ряда на сходимость. При этом возможны два случая:
1) Ряд 
расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: 
либо суммы вообще не существует, как, например, у ряда
(вот, кстати, и пример ряда с отрицательными членами). Хороший образец расходящегося числового ряда встретился в начале урока: 
. Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда больше, чем предыдущий, поэтому 
и, значит, ряд расходится. Ещё более тривиальный пример: 
.
2) Ряд сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу 
: 
. Пожалуйста: 
– этот ряд сходится и его сумма равна нулю. В качестве более содержательного примера можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам ещё со школы: 
. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: 
, где 
– первый член прогрессии, а 
– её основание, которое, как правило, записывают в виде правильной дроби. В данном случае: 
, 
. Таким образом: 
Получено конечное число, значит, ряд 
сходится, что и требовалось доказать.
Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не так-то просто, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.
Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши, признак Лейбница и некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда , образно говоря – от «начинки» ряда. И очень скоро мы всё разложим по полочкам.
! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать, что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида 
. Для повторения или изучения материала обратитесь к статье Пределы. Примеры решений.