Рассмотрим два положительных числовых ряда 
и 
. Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу 
: 
, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Опционально многочлены могут находиться под корнями.
Разделаемся с рядом, для которого забуксовал предыдущий признак сравнения.
Пример 10
Исследовать ряд на сходимость 
Сравним данный ряд со сходящимся рядом 
. Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что 
равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд 
– тоже сходится.
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .
Почему для сравнения был выбран именно ряд ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).
Примечание: когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения, в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: 
– это не изменило бы сути дела.
Предельный признак сравнения применим почти для всех рядов, которые мы рассмотрели в предыдущем пункте:
, 
, 
, 
.
Данные ряды по только что рассмотренной трафаретной схеме нужно предельно сравнить соответственно со сходящимися рядами:
, 
, 
, 
.
Пример 11
Исследовать ряд на сходимость 
Это пример для самостоятельного решения.
Что делать, если многочлены находятся и в знаменателе, и в числителе? Алгоритм решения почти такой же – нам нужно подобрать для сравнения подходящий ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда.
Пример 12
Исследовать ряд на сходимость 
Мы видим, что и в числителе и в знаменателе у нас многочлены, причем, в знаменателе многочлен находится под корнем. Подбираем ряд для сравнения 
.
1) Сначала нужно найти старшую степень знаменателя. Если бы не было корня, то, понятно, что старшая степень знаменателя равнялась бы четырем. Что делать, когда есть корень? Об этом я уже рассказывал на уроке Методы решения пределов. Повторение – мать учения: мысленно или на черновике отбрасываем все члены, кроме старшего: 
. Если есть константа, её тоже отбрасываем: 
. Теперь извлекаем корень: 
. Таким образом, старшая степень знаменателя равна двум.
2) Выясняем старшую степень числителя. Очевидно, что она равна единице.
3) Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 2 – 1 = 1
Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом 
, то есть, с расходящимся гармоническим рядом.
По мере накопления опыта решения эти три пункта можно и нужно проводить мысленно.
Само оформление решения должно выглядеть примерно так:
”
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом 
. Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом .
”
(1) Составляем отношение общих членов.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Раскрываем в числителе скобки.
(4) Неопределенность 
устраняем стандартным способом деления числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(5) В самой нижней строке подготавливаем 
для внесения под корень: 
(6) В знаменателе организуем общий корень.
Примечание: на практике пункты 5,6 можно пропустить, я их очень подробно разжевал для тех, кто не очень понимает, как обращаться с корнями.
(7) Почленно делим числители на знаменатели. Помечаем члены, которые стремятся к нулю.
Пример 13
Исследовать ряд на сходимость 
Это пример для самостоятельного решения.
В недалёком будущем вы будете сразу видеть, сходится такой ряд или расходится. Например, рассмотрим ряд 
. Ага, 3 – 1 = 2, значит, ряд нужно сравнить со сходящимся рядом , и сразу можно сказать, что наш исследуемый ряд тоже сходится. Дело за малым – осталось аккуратно оформить стандартное рутинное решение.
Вот, пожалуй, и все начальные сведения о положительных числовых рядах, которые потребуются вам при решении практических примеров. Следующий урок по теме числовых рядов – Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: 
Примечание: обратите внимание, что переменная-«счётчик» в данном примере «заряжается» со значения 
Пример 5: 
Пример 7: Проверим выполнение необходимого признака сравнения:
Делим числитель и знаменатель на 
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Пример 9: Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом 
. Для любого номера 
выполнено неравенство 
, а меньшим знаменателям соответствуют бОльшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
Примечание: и здесь тоже есть неформальный смысл. Так как гармонический ряд расходится, то сумма его членов: 
. Мы показали, что члены ряда 
ещё больше членов ряда , и совершенно понятно, что сумма ряда не может быть меньше бесконечности.
Пример 11: Сравним данный ряд с расходящимся рядом 
. Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .
Пример 13: Эти три пункта выполняем мысленно или на черновике:
1) Старшая степень знаменателя:4
2) Старшая степень числителя: 1
3) 4 – 1 = 3
Сравним данный ряд со сходящимся рядом 
. Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .