III. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

II. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

12. Ряд распределения дискретной случайной величины

			…….
			…….

Сумма вероятностей всегда равна 1. -условие нормировки.

13. Функция распределения (интегральная функция распределения)

Функция распределения случайной величины определяется по формуле . Это неубывающая функция, принимающая значения от 0 до 1. Если задана плотность распределения , то функция распределения выражается как .

14. Плотность распределения (дифференциальная функция распределения)

Плотность распределения случайной величины определяется по формуле. Существует только для непрерывной случайной величины. Для нее выполняется условие нормировки: (площадь участка под кривой равна 1).

15. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Два способа счёта:

1) через функцию распределения

2) через плотность распределения

16. Математическое ожидание случайной величины.

1) Для дискретной случайной величины , заданной рядом распределения:

1) Для непрерывной случайной величины , заданной плотностью распределения:

17. Дисперсия случайной величины. По определению дисперсия – это второй центральный момент: .

1) Для дискретной случайной величины , заданной рядом распределения:

1) Для непрерывной случайной величины , заданной плотностью распределения:

18. Среднее квадратическое отклонение случайной величины

19. Начальный момент r–го порядка случайной величины .

В частности, первый начальный момент – это математическое ожидание:

20. Центральный момент r – го порядка случайной величины

В частности, второй центральный момент – это дисперсия: .

21. Асимметрия . Коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого (правая часть кривой более пологая), и отрицателен в противном случае. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.

22. Эксцесс . Коэффициент эксцесса нормального распределения равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий.

III. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

21. Биномиальное распределение (дискретное)

- количество «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна . .

Закон распределения имеет вид:

			…..	k	…..

Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли: .

Характеристики: , ,

Примеры многоугольников распределения для и различных вероятностей:

22. Пуассоновское распределение (дискретное)

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

При условии закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Ряд распределения:

			…..	k	…..
			…..		…..

Вероятности вычисляются по формуле Пуассона: . Числовые характеристики: , , Разные многоугольники распределения при .

23. Показательное распределение (непрерывное). Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события. Плотность распределения: , где _.Числовые характеристики: , ,

Плотность распределения при различных значениях _.

24. Равномерное распределение (непрерывное)

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчётов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [-0,5; 0,5]), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчинённых заданному распределению.

Плотность распределения: Числовые характеристики: , , График плотности вероятностей:

25. Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное)

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий. Плотность распределения: Числовые характеристики: , , Пример плотности распределения:

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая - стандартной или нормированной. Функция Лапласа.Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал