Краткие теоретические сведения и основные формулы

Литература

Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1989. - Гл. 25, § 25.1.

Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1987. - Т.2. - гл. 8, § 60 - 63.

Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. Что является причиной возникновения индукционного тока? Поясните ответ опытами, проведенными Фарадеем.

2. Изменение какой из величин, или , определяет индукционный ток? Докажите это опытами Фарадея.

3. Сформулируйте и запишите закон Фарадея.

4. Сформулируйте и проиллюстрируйте опытом закон Ленца.

5. Запишите выражение и сформулируйте основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея - Ленца).

6. Докажите, что основной закон электромагнитной индукции является следствием закона сохранения энергии.

7. Определите направление индукционного тока на приведенных рис. 1 - 10.

8. Поясните возникновение индукционного тока в проводниках, движущихся в магнитном поле и неподвижных проводниках.

9. Какой характер носят индукционные токи в массивных проводниках?

10. Запишите выражение закона Ома для силы вихревого тока.

Краткие теоретические сведения и основные формулы

В 1831 г. Фарадей обнаружил, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром, возникает электрический ток. Это явление называется электромагнитной индукцией, а возникающий ток - индукционным.

Возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, называемой электродвижущей силой электромагнитной индукции .

Дальнейшее исследование индукционного тока в контурах различной формы и размеров показали, что ЭДС электромагнитной индукции в контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на этот контур (закон Фарадея):

~ (15.1)

ЭДС электромагнитной индукции не зависит от того, чем именно вызвано изменение магнитного потока – деформацией контура, его перемещением в магнитном поле или изменением самого поля.

Э.Х. Ленц исследовал связь между направлением индукционного тока и характером вызвавшего его изменения магнитного потока. Он установил правило, позволяющее найти направление индукционного тока (закон Ленца). Индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток.

Противодействие изменению магнитного потока выражается знаком ²минус². Тогда формула (15.1) запишется в виде

(15.2)

где

Формула (15.2), объединяющая законы Фарадея и Ленца, является математическим выражением основного закона электромагнитной индукции: электродвижущая сила электромагнитной индукции в замкнутом контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на контур.

Если контур, в котором индуктируется ЭДС, состоит не из одного витка, а из N последовательно соединенных витков (например, соленоид), то будет равна сумме ЭДС, индуктируемых в каждом из витков в отдельности:

. (15.3)

Величину (Вб) называют потокосцеплением, или полным магнитным потоком.

Тогда основной закон электромагнитной индукции можно записать в виде

. (15.4)

Немецкий физик Г. Гельмгольц показал, что основной закон электромагнитной индукции может быть выведен из закона сохранения энергии.

Контур с током I, одна из сторон которого подвижна, помещен в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура (рис.15.1).

Рис. 15.1

Если полное сопротивление R, то согласно закону сохранения энергии работа источника тока за время dt будет складываться из работы по преодолению сопротивления (теплота ) и работы по перемещению проводника в магнитном поле ():

откуда

где - ЭДС индукции.

Таким образом, при изменении магнитного потока, сцепленного с контуром, в последнем возникает добавочная электродвижущая сила, которая выражается формулой (15.2).

Можно показать, что ЭДС электромагнитной индукции возникает не только в замкнутом проводнике, но и в отрезке проводника, пересекающем при своем движении линии индукции магнитного поля (рис.15.2).

Рис. 15.2

На электроны проводимости металлического проводника длиной l действует сила Лоренца:

или

Смещение электронов в направлении , действующей на электроны, движущиеся направленно со скоростью , вызывает их скопление в сечении 1 и уменьшает концентрацию в сечении 2. Это приводит к появлению внутри проводника электрического поля с напряженностью , направленной от сечения 2 к сечению 1. Электрическое поле действует на электроны с силой Кулона направленной против

Условие динамического равновесия

При численном равенстве этих сил дальнейшее перемещение электронов по проводнику прекратится и установится разность потенциалов

Поэтому для равновесного состояния имеем

или

По закону Ома для разомкнутой цепи (I = 0)

где Е – ЭДС в проводнике.

Так как на участке 1 - 2 никаких источников тока нет, то естественно считать, что . Заменив разность потенциалов ее выражением, получим

Так как вдоль оси 0 х скорость движения проводника то

где - скорость пересечения проводником линий индукции магнитного поля.

Для объяснения возникновения ЭДС индукции в неподвижных проводниках предположим, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. Циркуляция вектора этого поля по любому неподвижному контуру l проводника представляет собой ЭДС электромагнитной индукции:

где производная учитывает зависимость потока магнитной индукции только от времени (частная производная).

Индукционный ток возникает не только в линейных проводниках, но и в массивных сплошных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле. Эти токи оказываются замкнутыми в толще проводника, и поэтому называются вихревыми, или токами Фуко. Направления этих токов согласно правилу Ленца такие, что их магнитное поле противодействует изменению магнитного потока, индуцирующего эти токи. Сопротивление массивных проводников невелико, поэтому вихревые токи могут достигать значительной величины, тем большей, чем больше скорость изменения (частота) магнитного потока или скорость движения проводника:

Вихревые токи вызывают сильное нагревание проводника

Количество тепла, выделяемое в единицу времени вихревыми токами пропорционально квадрату частоты изменения магнитного потока.

Примеры решения задач

Задача 1. Определить направление индукционного тока в кольцевом контуре (рис.15.3), если

Рис.15.3

Решение

1) Из рис.15.3 видно, что вектор магнитной индукции направлен вниз.

2) По условию задачи магнитный поток во времени возрастает.

3) Магнитное поле индукционного тока препятствует возрастанию магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток.

4) Применяя правило буравчика, определяем направление индукционного тока.

Задача 2. Определить направление индукционного тока, возникающего в кольцевом проводнике, если постоянный магнит, обращенный северным полюсом к кольцу, удалять от кольца с некоторой скоростью V (рис.15.4).

Решение

1) Основной поток образуют силовые линии магнита. Они выходят из северного полюса и входят в южный, пронизывая контур (см. рис.15.4).

2) При удалении магнита от кольца число линий , пронизывающих контур, убывает, следовательно, .

3) Поле индукционного тока должно препятствовать убыванию потока линий , следовательно, должно быть направлено в ту же сторону, что и В: .

4) Применив правило буравчика к магнитному полю , получим, что ток в кольце идет по часовой стрелке.

Задача 3. Определить среднее значение ЭДС индукции, возникающей в катушке, имеющей N = 500 витков, при изменении величины индукции внешнего магнитного поля от В ₁ = 0 Тл до В ₂ = 2 Тл за D t = 0,1 с. Площадь витка S = 100 см².

Дано:

В ₁ = 0 Тл

В ₂ = 2 Тл

D t = 0,1 с

N = 500 витков

S = 100 см² = 10^-2 м²

Е_i_ср -?

Рис.15.5

Решение

1) ; ; ; .

2) Поток и потокосцепление изменяются (возрастают), так как изменяется индукция магнитного поля, в котором находится катушка.

Найдено мгновенное значение ЭДС индукции.

Среднее значение можно найти, если заменить бесконечно малые изменения В и t на их конечные изменения, т.е.

Вычисления:

В.

Определим направление индукционного тока в катушке: 1) поток перпендикулярен площади сечения катушки, направлен вправо; 2) поток возрастает, так как увеличивается; 3) вихревое магнитное поле, созданное изменяющимся основным потоком, препятствует увеличению основного потока, следовательно, направлено против основного потока линий ; 4) по правилу буравчика (правого винта) индукционный ток должен идти по часовой стрелке (см. рис.15.5).

Задача 4. В магнитном поле, индукция которого В = 0,1 Тл, равномерно вращается катушка, состоящая из 100 витков проволоки. Катушка делает 5 . Площадь поперечного сечения катушки 100 см². Ось вращения катушки перпендикулярна оси катушки и индукции магнитного поля. Найти максимальное значение E_i, возникающей в катушке.

Дано:

В = 0,1 Тл I_i

N = 100

S = 100 см² = 10^-2 м² a

n = 5

Е_i _max -?

Рис.15.6

Решение

2) В = const; S = const; a ¹ const

Причиной изменения потока через катушку является изменение угла , где n – нормаль к площади сечения катушки.

3) - угловая скорость, равная изменению угла поворота в единицу времени.

Вращение катушки равномерное, следовательно, w = const и a = w t.

Тогда

E_i = N B S w sin w t.

4) E_i будет иметь максимальное значение, если sin w t = 1.

Тогда

Вычислим

В.

5) При повороте катушки из исходного положения (см. рис.15.6) на 90⁰ магнитный поток будет увеличиваться. Тогда по направлению будет противоположно . Индукционный ток при этом будет направлен против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора .

Примечание: вращение рамки или катушки в магнитном поле вызывает в ней появление синусоидальной Е_i. Явление это широко применяется в генераторах переменного тока.

Ответ: E_i _max = 3,14 В.

Задача 5. Самолет летит под углом 30⁰ к горизонту с постоянной скоростью V = 900 . Размах крыльев самолета l = 12 м, вертикальная составляющая магнитного поля Земли равна 0,5 мкТл. Определить разность потенциалов на концах крыльев самолета.

Дано:

V = 900 = 250

B_в = 0,5 ^.10^-6 Тл

l = 12 м

j = 30⁰

E_i -?

Решение

1) Основной закон ЭМИ

2) , угол = a равен j = 30⁰ (см. рис.15.7).

4) В.

5) ЭДС индукции появляется в проводнике, движущемся в магнитном поле, так как на заряды (свободные электроны) в проводнике действует сила Лоренца. Электроны под действием силы Лоренца перемещаются вдоль проводника. Направление их движения можно определить, применяя правило левой руки: линии индукции магнитного поля входят в ладонь, четыре пальца направлены по скорости движения проводника (заряд движется вместе с проводником), тогда отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца для положительной частицы, а электрон будет двигаться в противоположную сторону, так как его заряд отрицателен. правый конец проводника будет иметь положительный потенциал, а левый – отрицательный. На концах незамкнутой цепи возникнет разность потенциалов, численно равная E_i (по закону Ома для неоднородного участка когда R – внешнее сопротивление равно нулю, ).

Ответ: E_i = 7,5 В.

Задача 6. В магнитном поле, индукция которого изменяется по закону В = В ₀ (0,1 – 0,01 t ²) Тл, расположена квадратная рамка со стороной а = = 20 см, причем плоскость рамки перпендикулярна В. Определить ЭДС индукции в рамке в момент времени t = 5 с.

Дано:

В = В ₀ (0,1 – 0,01 t ²)

а = 20 см = 0,2 м

t = 5 с

В ₀ = 0,1 Тл

E_i -?

Рис.15.8

Решение

1) .

2) a = 0; S = const; B

Поток изменяется вследствие изменения индукции магнитного поля В:

3) .

4) В.

Уменьшение индукции основного магнитного поля вызывает появление индукционного тока, магнитное поле которого направлено в ту же сторону, что и основной поток. Индукционный ток на данном рисунке направлен по часовой стрелке (см. рис.15.8)

Ответ: Е_i = 4 В.

Задача 7. В магнитном поле, индукция которого 5 ^.10^-2 Тл, вращается стержень длиной 1 м с постоянной угловой скоростью w = 20 . Ось вращения проходит сквозь конец стержня и параллельна силовым линиям поля. Найти разность потенциалов, возникающую на концах стержня.

Дано:

В = 5 ^. 10^-2 Тл

l = 1 м

w = 20

½ Е_i ½= -?

Рис. 15.9

При вращении стержня против часовой стрелки положительный потенциал имеет дальний от оси конец стержня. Конец, находящийся на оси вращения будет иметь отрицательный потенциал.

Решение

Первый способ:

2) a = 0, cos a = 1, В = const, S ¹ const, Ф _т = В ^. S; S = N ^. p l ², Ф _т = В ^. N p l ².

Причиной изменения потока является увеличение площади, описанной стержнем при движении.

3. ; ;

В.

Второй способ:

d E_i = - B (dr) V – элементарная ЭДС, возникающая на бесконечно малом элементе длины стержня dr при его движении со скоростью v

U = w r; d E_i = - B w r dr; .

Ответ: Е_i = 0,5 В.

Задача 8. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N = 1000 витков. Площадь рамки S = 150 см². Рамка делает n = 10 . Определить мгновенное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки a = 30⁰.

Дано:

В = 0,1 Тл

N = 1000 витков

S = 150 см² = 1,5 ^. 10^-2 м²

n = 10

E_i -?

Рис. 15.10

Решение

1. ;

2. Причиной изменения потока через площадь, ограниченную рамкой, является изменение во времени угла поворота нормали к площади рамки, так как

B = const, S = const, a ¹ const, a = w t, Ф _m = B S cos w t.

4. , В.

Ответ: E_i = 47,1 В. Индукционный ток при повороте на угол 60⁰ из положения, изображенного на рисунке течет по часовой стрелке, т.к. поток через рамку увеличивается.

Задача 9. По длинному прямому проводнику течет ток. Вблизи проводника расположена квадратная рамка из тонкого провода сопротивлением R = 0,02 Ом. Проводник лежит в плоскости рамки и параллелен двум ее сторонам, расстояния до которых от провода равны соответственно = 10 см и = 20 см. Найти силу тока в проводнике, если при его выключении через рамку протекло количество электричества q = 6,93 Кл.

Дано:

R = 0,02 Ом

= 10 см = 0,1 м

= 20 см = 0,2 м

q = 6,93 ^.10^-4 Кл

I -?

Решение

1. cos a = 1 = const, S = const, B ¹ const.

2. , так как ток в проводнике выключают.

. (1)

ЭДС индукции в рамке зависит от первоначального потока, созданного током в проводнике. Индукционный ток в рамке равен по закону Ома

Заряд, проходящий по рамке вследствие электромагнитной индукции, равен

Подставим выражение < E_i >

где Ф₁ – поток, созданный током в проводнике I.

Поле, созданное прямым бесконечным током, является неоднородным, индукция В этого поля зависит от расстояния х по закону , вычислим величину потока Ф₁. Для этого разобьем рамку на очень узкие полоски высотой , шириной dx настолько малой, чтобы можно было считать В для такой площадки постоянным. Тогда для площадки dS = ( - ) ^. dx на расстоянии х от проводника с током I