| 1.
| При какой ставке сложных процентов за 9 лет сумма удваивается?
| Сложные проценты
|
| FV=2
PV=1
n=9
Найти i?
| FV=PV(1+i)n =>
2=1(1+i)9
(1+i)9=2
9lg(1+i)=lg2
lg2=0.3
9lg(1+i)=0.3
lg(1+i)=0.033
(1+i)=1.08
i=1.08-1=0.08(8%)
| простая
|
|
| Ответ: Сумма удваивается через 9 лет при 8%годовых.
|
| 2.
| В день рождения внука бабушка положила в банк 1000 у. е. под 3% годовых. Какой будет эта сумма к семнадцатилетию внука?
| Простые и сложные проценты
|
| PV =1000
i =0,03
n = 17
найти FV?
|  => FV =1000*(1+0,03*17) = 1510 у. е.
| простые
|
|
|  => FV=1000*(1+0,03)17=1000*1,65=1650 у. е.
| сложные
|
|
| Ответ: К семнадцатилетию внука, сумма будет составлять 1510 у.е. (при простых процентах) и 1650 у. е. (при сложных)
|
|
| 3.
| Как найти инфляцию за квартал, если известна годовая инфляция?
|
|
|
|
|
|
|
| Ответ: чтобы найти инфляцию за квартал, необходимо годовую инфляцию разделить на 4, но при этом полученный результат будет являться средним значением инфляции за год.
|
| 4.
| Найдите несколько сумм в прошлом и будущем, эквивалентных сумме 1000 д.е. в момент 0 при ставке 8% годовых
|
|
| i=8%
P=1000 д.е. Найти: FV? PV?
| n=2
FV=P(1+n*i)=1000(1+2*0,08)=1160 n=5 FV=1000(1+5*0,08)=1400 n=2 PV=1000  = 1000  =1166,4
n=5 PV=1000  =1469,3
|
|
|
| Ответ: FV=1160, 1400 PV=1166,4, 1469,3
|
| 5.
| Счет «СБ100» в Сбербанке обещает 2,9% за 100 дней. Сколько это составит процентов годовых?
| Простые
|
| r=2,9%
t=100 дн.
R-?
| R=365/t*r=>365/100*2,9=10,59%
|
|
|
| Ответ: Это составит 10,59% годовых.
|
| 6.
| Докажите строго при одной и той же ставке i наращение сложных процентов идеет быстрее, чем простых процентов при длине периода наращения, более единичного и медленне, если период наращения менее еденичного, т.е. докажите неравенства (1+i)t>(1+ti), если t>1 и (1+ i)i< (1+ ti), если 0<t<1. Докажите, что при удержании процентов, наоборот, простые проценты уменьшают сумму медленне, чем сложные.
| Простые и сложные
|
 >(1+ti),если t>1 и <(1+it),если 0<t<1
| Если t>1, t=3,i=20%
 >(1+3*0,2)=>1,728>1,6
Т.е.наращение сложных процентов идет быстрее, чем простых процентов при длине периода наращения, более единичного.
Если 0<t<1, i=20%, t=0,5
 < (1+i*t/365)
 <(1+0,2*0,5/365)=>1,00025<1,00027
Наращение сложных процентов идет медленнее, если период наращения менее единичного.
При удержании процентов:
а) простые %: n=2, d=10%, P=1000
Pn=1000*(1-2*0,1)=800- сумма которая останется после удержания
б)Сложные проценты:
Pn=1000*  =810
|
|
|
| Ответ: Т.о., применив конкретные значения мы доказали, что при одной и той же ставке, наращение сложных процентов идет быстрее, чем простых процентов при длине периода наращения, более единичного и медленнее, если период наращения менее единичного.
При удержании процентов, наоборот, простые проценты уменьшают сумму медленнее, чем сложные.
|
| 7.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 8.
| Докажите, что  , т.е. эффективная ставка больше номинальной (m – натуральное число)
|
|
|
| Представим, что под 20% годовых при ежеквартальном начислении процентов был взят кредит сроком на один год. По схеме сложных процентов ставка равна 20/4=5% =>  (по таблице М(4,5)=1,216). Ставка 21,6% - эффективная, а 20% - номинальная. Вторая меньше первой.
|
|
|
| Ответ: доказано.
|
| 9.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 10.
| Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12%, реальная ставка оказалась 6%?
|
|
| j=6%
a=12%
Найти i
| Из уравнения Фишера:
(1+i)= (1+j)(1+ a), где i- номинальная ставка, j- реальная ставка, a - темп инфляции.
Получаем: i= (1+ j)(1+ a)-1= 18,72%.
|
|
|
| Ответ: банк должен назначить ставку 18,72%.
|
| 11.
| Наращение простых процентов с переменной ставкой. Пусть сложные проценты на k-й год равны  . Найдите наращенную сумму за n лет.
| простые
|
Пусть
P -первоначальная сумма
 - простая процентная ставка в период k
 - продолжительность периода k
Найти S – наращенная сумма за n лет
| Тогда наращенная сумма определяется следующим способом
S =  )
|
|
|
| Ответ: S =  )
|
| 12.
| Наращение сложных процентов с переменной ставкой. Пусть сложный проценты за год k-год равны ik. Найдите наращенную сумму через n лет.
|
|
| Пусть
P -первоначальная сумма
ik - процентная ставка в период k
продолжительность периода n лет
Найти S – наращенная сумма за n лет
| К концу n-ого промежутка начисления наращенная сумма станет
S=P(1+i)n
Pn =P(1+i)n
|
|
|
| Ответ: таким образом последовательность наращенных сумм Pn есть геометрическая прогрессия с начальным членом P и знаменателем прогрессии (1+i).
|
| | | | | | |