Глава 3. Основные формулы теория вероятностей
Операции над событиями.
Суммой двух событий А и В называется событие АÈВ (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно).
Произведением ( или пересечением)двух событий А и В называется событие АÇВ (АВ), состоящее в одновременном появлении и события А и события В.
Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле (теорема сложения)
.
События А1,А2,...,Ак образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно произойдет одно из них, т.е. 
.
События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно АÇВ=Æ. Если события несовместны, то
Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Задача 1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?
Решение. Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы 
, где события 
и 
означают выборку пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна 
, а вероятность вытащить две синие пуговицы 
. Так как события и не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения
Условная вероятность и теорема умножения.
Помимо обычной (безусловной) вероятности можно рассматривать так называемую условную вероятность, вычисляемую при условии, что событие B произошло. Такую вероятность (вероятность А при условии В) обозначают Р(А|В) и вычисляют с помощью одной из двух формул:
Из этой формулы вытекает формула для вероятности произведения двух событий (теорема умножения)
|
|
.
Формула умножения для трех событий:
.
Задача 2. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?
Решение. Пусть А={старший ребенок – мальчик}, B={в семье есть дети обоего пола}. Будем считать, что рождения мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар: 
. В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола и старший ребенок – мальчик, это значит, что второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и
Задача 3. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, берет и проверяет детали одну за другой, пока нему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали.
Решение. Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит, 
, где ={ первая деталь оказалась нестандартной } и ={вторая деталь – стандартная}. Очевидно, что вероятность 
кроме того, 
(так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных). По теореме умножения
Независимость событий.
Событие А не зависит от В, если появление события В не меняет значения вероятности события А, т.е. условная вероятность равна безусловной: Р(А/В) = Р(А). Аналогично определяется независимость события B от A.Оказывается, что свойство независимости на самом деле симметрично относительно событий A и B, и потому определение независимости двух событий принимает более простой вид:
|
|
два события A и B независимы, если справедливо равенство
Р(АВ) = Р(А) × Р(В).
Это равенство можно использовать также как удобный критерий независимости при практической проверке независимости двух событий.
Задача 4. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
Решение. Событие A={хотя бы из одного ящика вынут белый шар} можно представить в виде суммы , где события и означают выборку одного белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна 
, а вероятность вытащить белый шар из второго ящика 
. Кроме того, в силу независимости и имеем: 
. По теореме сложения получаем:
.
Формула полной вероятности.
Пусть событие А может быть реализовано только при условии появления одного из событий Hi, i = 1,..., n. Предположим, что события Hi несовместны, образуют полную группу (т.е. в результате испытания непременно произойдет одно из них) и вероятности их до опыта известны.. Такие события Hi называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить с помощью формулы полной вероятности:
.
Задача 5. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студента, а третий — 21 студентов (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, зато у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.
|
|
Решение. Обозначим через 
– гипотезы, состоящие в том, что слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменатору соответственно. По условию задачи
, 
, 
.
Пусть событие A={слабо подготовившийся студент сдал экзамен}. Тогда снова в силу условия задачи
, 
, 
.
По формуле полной вероятности получаем:
.
Для решения задач такое типа удобно использовать так называемое "дерево" вероятностей. Из формулы полной вероятности следует, что для вычисления вероятности события А необходимо осуществить перебор всех путей, ведущих к результирующему событию А; вычислить и расставить на соответствующих путях вероятности Р(Нi) того, что движение будет происходить по данному пути, и вероятности Р(А/ Нi) того, что на данном пути будет достигнуто конечное событие А. Затем вероятности, стоящие на одном пути, перемножаются, а результаты, полученные для различных путей, складываются.
Каждое из условий может в свою очередь делиться на несколько дополнительных условий или гипотез, т.е. на каждом этапе оно допускает неограниченное число ветвлений схемы, поэтому в решении задач удобнее пользоваться не самой формулой полной вероятности, а графической схемой полной вероятности, которую называют "деревом" вероятностей.
Формулы Байеса.
Предположим теперь другую ситуацию: пусть теперь известно, что событие A произошло. Это знание влияет на нашу оценку вероятностей гипотез Нk, т.е. на вероятность того, что событие A произошло именно путем Нk. Эти условные вероятности (т.е. при условии, что событие А произошло), вычисляются с помощью формулы Байеса:
.
Отметим, что в знаменателе этой формулы записана ничто иное как вероятность Р(А), вычисленная по формуле полной вероятности.
Задача 6. (см. задачу 4) Известно, что студент сдавал экзамен, но получил «неуд». Кому из трех преподавателей вероятнее всего он отвечал?
Решение. Вероятность получить «неуд» равна 
. Требуется вычислить условные вероятности 
. По формулам Байеса получаем:
,
и аналогично,
, 
Отсюда следует, что вероятнее всего слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему экзаменатору.