Такое совмещение может быть осущестленно шестью элементарными поворотами и переносами, выполненными строго в следующей последовательности (повороты некоммутативны!)
1) поворот осей системы вокруг оси
до тех пор, пока ось
не окажется в плоскости, параллельной плоскости осей
;
2) поворот системы вокруг оси
до тех пор, пока оси
и
не станут параллельными и одинаково направленными.
3) Поворот осей системы вокруг оси
до положения, при котором все оси систем 1 и 2 станут параллельны и одинаково направлены.
4) Последовательный перенос системы 2 вдоль осей , выполняемый в любой последовательности до полного совмещения осей координат.
Пример кинематического анализа манипулятора «Маскот-1»
Рассматриваемый манипулятор (рис. 25) имеет 6 степеней свободы и состоит из 6 подвижных звеньев, соединенных кинематическими парами V класса. С каждым звеном механизма связываем свою систему координат. Со стойкой - , поместив ее начало в точке 0. Со звеном 1 – систему координат
, ось
параллельна
; со звеном 2 -
, поместив начало в точке C; ось
направлена по оси звена 2, а ось
- по оси вращательной пары C и т.д.
Пусть координатами произвольной точки А в системе координат
будут
(в дальнейшем их обозначим
). Координаты этой же точки в системе
где ,
- матрицы-столбцы координат точки А в системах координат
и
;
- матрица поворота при переходе от системы
к системе
;
- матрица параллельного переноса при переходе от системы
к системе
.
Система может быть совмещена с системой
поворотом вокруг оси
на угол
. Поэтому
Системе координат может быть совмещена с системой
поворотом оси
на угол
. Матрица поворота при переходе от
к
имеет вид:
|
а матричное уравнение перехода к системе -
где - матрица-столбец координат точки А в системе
.
Система координат может быть совмещена с
переносом оси
на величину
и поворотом вокруг оси
на угол
. Матрица поворота при переходе от системы
к системе
имеет вид:
;
Матрица переноса –
Матричное уравнение перехода к системе -
где - матрица-столбец координат точки А в
.
Система может быть совмещена с
поворотом вокруг оси
на угол
. Матрица поворота при переходе от
к
имеет вид:
.
Матричное уравнение перехода к системе -
где - матрица-столбец координат точки А в системе
.
Система может быть совмещена с
переносом по оси
на
и поворотом вокруг
на угол
. Матрица поворота при переходе от системы
к системе
записывается в форме:
Матрица переноса –
,
Матричное уравнение перехода к системе -
где - матрица-столбец координат О в системе
.
Система может быть совмещена с системой
поворотом вокруг оси
на угол
. Матрица поворота при переходе от
к
имеет вид:
,
Матричное уравнение перехода к системе -
где - координаты точки А в системе
.
Подставляя в последнее уравнение соответствующие матрицы M и L, получим выражения, связывающие координаты произвольной точки звена 6 в системах координат и
. Введем обозначения обобщенных координат:
Тогда
где
При этом
- координаты точки А в системе
- координаты А в системе
;
- координаты точки А в системе
. Для получения скоростей и ускорений можно дифференцировать матричное уравнение. Только зная
, можно определить положение точки А, заданной в системе
, по отношению к системе
.Скорости и ускорения точек схвата будут зависеть от скорости и ускорений обобщенных координат.
|