Муниципальный этап олимпиады по математике, 2014-2015 учебный год

1. Решение.

Рассмотрим момент финиша Саши. К этому моменту Саша пробежал 100 м, а Леша за то же время – всего 90 м. Значит, скорость Леши составляет 90/100 = 0,9 от скорости Саши.

Теперь рассмотрим момент финиша Леши. К этому моменту Леша наконец-то пробежал 100 м, а Коля – всего 90 м. Значит, скорость Коли составляет 90/100 = 0,9 от скорости Леши.

Тогда получается, что скорость Коли составляет 0,9 • 0,9 = 0,81 от скорости Саши. И когда Саша завершил свои 100 м, Коля сумел пробежать всего 81 м. Т.е. Коля будет отставать на 19 м в момент финиша Саши.

Ответ: 19 м.

2. Решение.

Если какой-то из братьев родился в году, то по условию получаем уравнение 1900+10х+у+(1+9+х+у) = 2014, откуда 11х+2у=104.

Поскольку х и у – цифры, то решение этого уравнения единственное: х = 8,

у = 8.

Если же кто-то из братьев родился в году, то аналогично получаем уравнение 11х + 2 у = 12, откуда х = 0, у = 6.

Ответ: 1988 и 2006.

3. Решение.

Пусть F – точка пересечения DЕ и АВ.

Ð FBD = 72⁰.

Рассмотрим ∆ ADF: Ð AFD = Ð ADF – Ð FAD = 90⁰ – 18⁰ = 72⁰.

Так как Ð FBD = Ð AFD = 72⁰, то ∆ BFD – равнобедренный. Значит, BD = FD.

В ∆ AFE: Ð FAE = 36⁰, Ð AFE = 72⁰, Следовательно, Ð AEF = 72⁰.

Так как Ð AEF = Ð AFE = 72⁰, то ∆ AFE – равнобедренный, FE – основание.

По условию DE - перпендикуляр к биссектрисе AD, тогда AD – высота и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, а, следовательно, и медиана ∆ AFE. Тогда FD = DE.

Так как BD = FD и FD = DE, то BD = DE. Что и требовалось доказать.

4. Решение.

Из условия задачи ясно, что правдивые гномы могут любить только сливочное мороженое, а лживые — только шоколадное или фруктовое. Именно поэтому все гномы сказали, что любят сливочное. Заполним табличку — отметим, что должны говорить правдивые и лживые гномы, в зависимости от того, какой сорт им нравится.

Правдивый — любит только сливочное, признает это, а про остальные сорта говорит, что не любит.

Лживый гном, который любит шоколадное мороженое, скажет «нет» в ответ на второй вопрос, и «да» — в ответ на третий.

Если же лживый гном любит фруктовое, то он ответит «да» на вопрос про шоколадное, и «нет» — про фруктовое.

Из третьего столбца мы видим, что в любви к фруктовому мог признаться только лжец, который любит шоколадное мороженое. Причем такой среди гномов — всего один.

А из второго столбца мы видим, что отрицают любовь к шоколадному мороженому все правдивые гномы и лжецы, которые любят шоколад. Но таких лжецов, как мы уже узнали, всего один.

Поэтому на второй вопрос ответили «нет» все правдивые гномы и один лжец. То есть правдивых гномов — половина минус один (10:2 – 1 = 4).

Ответ: 4 гнома.

5. Решение.

Заметим, что если номер - счастливый, т.е. a+b+c = d+e+f, то и номер 999 999 – тоже счастливый, т.к. сумма первых его трех цифр 27 – (a+b+c) равна сумме трех последних 27 – (d+e+f).

Все счастливые номера, за исключением номера 999 999, разобьём на пары: каждый счастливый номер А < 500 000 объединим в пару со счастливым номером 999 999 – А, который очевидно больше 500 000.

Сумма номеров, принадлежащих одной паре, равна 999 999 = 999×7×11×13 и, следовательно, делится на 13.

Один номер, а именно 999 999, остался без пары, но он тоже делится на 13. Поэтому, сумма всех счастливых номеров делится на 13.