Тема 3.3. Интегральное исчисление.
Таблица интегралов
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
| 7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
| 13. 
14. 
15. 
16. 
|
Свойства неопределённого интеграла.
1. 
2. 
– т. е. постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла.
3. 
, т. е. неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов от этих функций.
4. 
Неопределённый интеграл. Методы интегрирования
Непосредственное интегрирование
Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.
Пример: Вычислите 
Решение: Для вычисления интеграла сначала воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла, а затем применим 1 и 4 табличные интегралы:
Пример: Вычислите 
Решение: Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно разделим на знаменатель, затем воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла и применим 1 и 3 табличные интегралы
Метод замены переменной (метод подстановки)
Он является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих вомногих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием.
Пример: Вычислите 
Решение: Введем новую переменную t = 3x-4, тогда 
, откуда 
. Подставим новую переменную в интеграл
(вместо выражения 3х-4 подставим t, вместо 
подставим 
).
Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 3х-4), получим окончательный ответ.
Интегрирование по частям (метод стрелок)
ᶴ ‘
F(x) g'(x)
«конец интегральной стрелки на начало дифференциальной минус интеграл от произведения функций на концах стрелок».
|
Пример № 1: Найти интеграл, используя метод стрелок: 
.Решение:
= 
' ᶴ
Если поменять порядок стрелок, то получится более сложный интеграл. Умение выбрать нужный порядок стрелок очень важен для нахождения подобных интегралов.
Пример № 2: 
= 
ᶴ '
x 
Иногда приходится применять метод стрелок несколько раз, чтобы найти нужный интеграл. Главное, чтобы каждое последующее подынтегральное выражение было проще предыдущего.
Пример № 3: 
. После однократного
' ᶴ
применения метода стрелок получили более простой интеграл. Тем не менее для его вычисления требуется ещё раз применить этот метод:
' ᶴ
2 
Отсюда окончательно: 
Определённый интеграл. Методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование
Формула Ньютона – Лейбница: 
Пример: Вычислить определённый интеграл: 
Решение. 
Метод замены переменной (метод подстановки)
| 1 | 9 |
t= 
| 1 | 3 |
Пример № 1: Вычислить интеграл 
Решение. Применим подстановку 
Тогда 
Находим новые пределы интегрирования:
Тогда получим: 
|
| 2 | 3 |
| t | 1 | 0 |
Пример № 2: Вычислить интеграл 
Решение. Полагая 
получим: 
Пределы интегрирования:
Интегрирование по частям в определённом интеграле.
Формула интегрирования по частям для определённого интеграла:
Пример: вычислить интеграл 
Решение. Положим 
Тогда 
Получаем 
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ
1. Найти неопределённые интегралы методом непосредственного интегрирования:
1) 
;
2) 
3) 
4) 
.
2. Найти неопределённые интегралы методом замены переменной:
1) 
2) 
3. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
1) 
4. Вычислить определённый интеграл: 
.