Комплексные числа
Не занимайтесь комплексными числами после комплексного обеда
На данном уроке мы познакомимся с понятием комплексного числа, рассмотрим алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа. А также научимся выполнять действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.
Не беспокойтесь, я вас напугал, я вас и рассмешу. Для освоения комплексных чисел не требуется каких-то специальных знаний из курса высшей математики, и материал доступен даже школьнику. Достаточно уметь выполнять основные алгебраические действия с «обычными» числами и немного рубить в тригонометрии. Впрочем, если что позабылось,
я напомню.
Сначала «поднимем» информацию об «обычных» школьных числах. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой 
(в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной либо утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:
Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число.
Понятие комплексного числа
Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве.
Если хотите, комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид 
, где 
и 
– действительные числа, 
– так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью (
) комплексного числа 
, число называется мнимой частью (
) комплексного числа .
– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: 
или переставить мнимую единицу: 
– от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:
Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой 
. Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.
Комплексная плоскость состоит из двух осей:
– действительная ось
– мнимая ось
Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат (см. Графики и свойства элементарных функций). По осям нужно задать масштаб, отмечаем:
ноль;
единицу по действительной оси;
мнимую единицу по мнимой оси.
Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и 
.
Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.
Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.
Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел .
Числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.
Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .
В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями.
Алгебраическая форма комплексного числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.
Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.