Равносильность.
Две формулы 
и 
- равносильны, если они принимают одинаковые значения при одинаковых наборах значений предметных переменных, входящих в эти формулы.
Все равносильности логики высказываний распространяются на логику предикатов.
Например. 
(1)
Доказательство:
Для высказываний мы имели равносильность
(2).
Если равносильность (1) не имеет места, то это означает, что существует значение х1, такое, что 
.
Но Р (
) и Q(Х1) – высказывания, а для любых высказываний справедлива формула (2). Получили противоречие, что доказывает, что наше предположение ложно, следовательно, формула (1) справедлива.
Что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются и остальные равносильности.
Равносильности с кванторами.
Пусть предикат Р (х), задан на конечном множестве
х 
{ , 
,…, 
}.
1. Будем рассматривать квантор всеобщности как обобщенную конъюнкцию (
х) Р (х) = Р () 
Р () …Р (), тогда
Р (х)= 
х 
, то есть
Р (х) х .
2. Будем рассматривать квантор существования как обобщенную дизъюнкцию 
Р (х) 
, то есть
Р (х) х .
Правило: Отрицание квантора можно перенести на предикат с изменением квантора.
3. 
Эта формула является обобщением свойств коммутативности и ассоциативности конъюнкции для высказываний.
Замечание. 
.
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть пример.
Пусть х – натурально число. Предикаты Р(x) - х простое число, Q(x) – x составное число. Левая формула: «всякое натуральное число является простым или составным» - истинно. Правая формула: «всякое натуральное число – простое или всякое натуральное число составное» - ложно.
4. 
.
Эта формула является обобщением свойств коммутативности и ассоциативности дизъюнкции для высказываний.
Замечание. 
.
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть пример.
Пусть х – натурально число. Предикаты Р(x) - х простое число, Q(x) – x составное число. Левая формула: «существует натуральное число простое и составное» - ложно. Правая формула: «существует натуральное число – простое и существует натуральное число составное» - истинно.
Запись математических предложений с помощью предикатов.
Для того чтобы выразить некоторое предложение в виде предикатов, необходимо
- установить предметную область, к которой относятся предметные переменные,
- выделить объекты, ввести соответственные обозначения, если таковых нет в математике
- записать предложение в этих обозначениях.
Пример 1. Предложение: прямая а параллельна прямой b.
Предметная область – множество прямых.
Введем предикат Р (х), х – прямая. Предикат параллельности х||у
Тогда предложение можно записать в виде: Р (а) Р(b) (а||b).
Пример 2. Аксиома: через две различные точки проходит единственная прямая. (Ели две точки принадлежат двум прямым, то эти прямые совпадают).
Введем предикаты
Т (х), х – точка; Р (х), х – прямая; J(x,y) - x у. Тогда можно записать:
Т (А) Т (В) (А ≠ В) Р (а) Р(b) J(A,a) J(B,а) J(A,b) J(B,b) 
(a=b).
Наряду с квантором существования рассматривается ограниченный квантор существования.
! – означает существование единственного элемента.
Запишем теперь эту аксиому, используя ограниченный квантор существования:
(А, В) (Т (А) Т (В) 
(!(а)) Р (а) J(A,a) J(B,b)).
Общезначимые формулы.
Формула 
, содержащая предикаты и высказывания, называется общезначимой, если она принимает значения 1 при всех возможных наборах значений высказываний и наборах предметных переменных для предикатов, входящих в эту формулу.
Естественно, что все формулы, являющиеся тавтологиями в логике высказываний, общезначимые, если высказывания заменить предикатами:
Пример. Мы имели р 
1 (1)
Рассмотрим предикат Р (
). Тогда
Р (). 
()- формула общезначимая. (2)
Доказательство:
Зададим набор значений 
. Тогда
: Р(). 
(3) -является высказыванием. В силу равенства (1) формула (3) – тавтология. А в силу произвольности набора, формула (2) – общезначимая.
Теорема. Если , то 
1 и наоборот, то есть для того чтобы 1, необходимо и достаточно, чтобы формулы и были равносильными.
Доказательство:
Необходимость:
Пусть . Это означает, что формулы и принимают одинаковые значения при любых одинаковых наборах предметных переменных и высказываний, входящих в эти формулы. А это означает, что .
Достаточность:
Пусть . Это означает, что при одинаковых наборах значений предметных переменных и высказываний, входящих в эти формулы, они принимают одинаковые значения. Значит 1.Что и требовалось доказать.