При сопоставлении значений функций и для случайной величины x, распределённой нормально, при одном и том же значении аргумента, возникают ошибки . Эти ошибкой могут быть обусловлены либо ошибками определения величин M { x } и s2{ x }, либо тем, что закон распределения случайной величины отличен от закона Гаусса. Идея сравнения эмпирического распределения с идеальным нормальным распределением , определённым величинами M { x } = и s 2{ x } = S 2{ x }, лежит в основе доказательства гипотезы о том, что случайная переменная подчиняется нормальному закону распределения.
Для проверки гипотезы о согласованности эмпирического выборочного распределения с гипотетическим нормальным распределением применяется статистика, которая приближённо распределена по c 2-закону Пирсона
с числом степеней свободы f = K – l – 1, где K – число интервалов ряда распределения, определённое по (9), l – число параметров гипотетического распределения, которые надо определить по данным выборки (для нормального распределения l = 2). Здесь Nk – число элементов выборки, попавшее в k -ый интервал, а pk – вероятность попадания случайной величины x в k -ый интервал при условии, что x распределена нормально.
Для проверки нуль-гипотезы о соответствии выборочного распределения нормальному закону Гаусса вычисляют эмпирическое значение статистики по (15) и сравнивают его с критическим c 2КР{ q; f }, которое выбирают из таблиц c 2-распределения для числа степеней свободы f и выбранного уровня значимости q. Если выполняется условие
то гипотеза принимается, эмпирическое распределение считается нормальным.
Критерием Пирсона рекомендуется пользоваться при N > 50. При меньших объёмах выборки можно воспользоваться критерием согласия:
где , – соответственно асимметрия и эксцесс эмпирического распределения, а DA и DE – дисперсии данных величин. Величины , , DA и DE определяются по выражениям
При выполнении условий (17) гипотеза о соответствии выборочного распределения нормальному закону Гаусса принимается.
2. ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
Перед началом практических занятий по темам, затронутым в первой части методических указаний, каждому студенту (подгруппе студентов) выдаётся текстовый файл с разделителями, форма которого показана в таблице 1.
Таблица 1 - Форма файла исходных данных
A | B | C | D | E | |
… | … | … | … | … | |
j | |||||
… | … | … | … | … | |
N |
Файл представляет собой таблицу без заголовков. В первом столбце таблицы расположены номера опытов j = 1.. N. В остальных столбцах содержатся элементы выборочных статистических совокупностей четырёх случайных величин, подчиняющихся различным видам распределения. Все вычисления на практических занятиях производятся только для величины x 1. Определение расчётных параметров для остальных случайных величин производится путём копирования с заменой элементов (s = 2.. 4) в ячейки элементов .
Задание на практические занятия заключаются в следующем:
1. Выполнить точечную оценку параметров распределения случайной величины:
1) Определить среднее по выборке значение случайной величины при помощи функции СРЗНАЧ(.. ).
2) Определить значение выборочной дисперсии S 2{ x } при помощи функции ДИСП.В(.. ).
3) Построить график случайной величины xj, .
4) При помощи функции определить значения относительных частот ν 1, ν 2, ν 3 попадания случайной величины x в интервалы M { x }± S { x }, (M { x }±2 S { x }, M { x }±3 S { x } соответственно. Для этого рекомендуется воспользоваться функцией ЧАСТОТА(.. ; С), показывающей количество элементов в массиве .. , меньших указанной величины С.
5) Определить границы, симметричные относительно , доверительных интервалов наблюдения случайной величины x 1, распределенной нормально, для вероятностей P 1 = 0,68; P 2 =0, 95; P 3 = 0,99. При расчёте воспользоваться функцией НОРМОБР(P; , S { x }), возвращающей такое значение нормальной случайной величины X, описываемой параметрами и S { x }, что вероятность наблюдения x < X равна P.
6) выполнить сравнительный анализ величин, рассчитанных в п. 4) и 5).
2. Выполнить проверку гипотезы о соответствии распределения случайной величины x нормальному закону распределения по критериям согласия:
1) Рассчитать значение асимметрии распределения случайной величины x, воспользовавшись функцией СКОС(.. ).
2) Рассчитать значение эксцесса распределения случайной величины x, воспользовавшись функцией ЭКСЦЕСС(.. ).
3) Вычислить значения дисперсий рассеяния величин и по выражениям (20,21).
4) Сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы о соответствии распределения случайной величины x нормальному закону.
3. Построить гистограмму случайной величины x 1:
1) Определить x min и x max (функции МИН(.. ) и МАКС(.. )).
2) Определить количество К интервалов гистограммы по выражению (9). Для этого могут понадобиться функции ОКРУГВВЕРХ() и LOG10() приложения Microsoft Excel.
3) Определить границы интервалов гистограммы.
4) Подсчитать частоты Nk попадания случайной величины x в рассчитанные интервалы, воспользовавшись функцией ЧАСТОТА в матричном виде.
5) Построить график гистограммы по результатам работы функции ЧАСТОТА.
4. Выполнить проверку гипотезы о соответствии распределения случайной величины x нормальному закону распределения по c2-критерию:
1) Определить вероятности pk попадания случайной величины x 1 в k -ые интервалы гистограммы, воспользовавшись выражением (7) и функцией НОРМРАСП.
2) Рассчитать фактическое значение c2-критерия по выражению (15).
3) Определить критическое значение c2КР для вероятности p = 0,9. Для этоговоспользоваться функцией ХИ2ОБР[P2]).
4) сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы о соответствии распределения случайной величины x нормальному закону.
5. Выполнить интервальное оценивание параметров генеральной совокупности случайной величины x при известных выборочных параметрах. Для определения квантилей распределения Стьюдента и Фишера воспользоваться функциями СТЬЮДРАСПОБР() и FРАСПОБР().
6. Выполнить пп. 1-5 для других случайных величин, имеющихся в файле исходных данных. Сделать выводы по результатам анализа.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ ИСТОЧНИКИ
1. Лукьянов С.И. Основы инженерного эксперимента [Текст]: учеб.пособ. / МГТУ. - Магнитогорск, 2006. - 94с.: ил.
2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа [Электронный ресурс]: Учебник. Часть 1. 9-е изд.,стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2008. — 448 с.: ил. (Учебники для вузов. Специальная литература). Режим доступа: https://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=410. ISBN 978-5-9511-0010-8 (Общий) ISBN 978-5-8114-0190-1 (Ч. 1).
3. Мойсюк Б.Н. / Основы теории планирования эксперимента: Учебное пособие // М.: Издательство МЭИ, 2005. – 464 с.
[P1]В бумажной версии здесь опечатка
[P2]В бумажной версии здесь опечатка