Проверка гипотезы о согласовании выборочного эмпирического распределения с гипотетически нормальным распределением




При сопоставлении значений функций и для случайной величины x, распределённой нормально, при одном и том же значении аргумента, возникают ошибки . Эти ошибкой могут быть обусловлены либо ошибками определения величин M { x } и s2{ x }, либо тем, что закон распределения случайной величины отличен от закона Гаусса. Идея сравнения эмпирического распределения с идеальным нормальным распределением , определённым величинами M { x } = и s 2{ x } = S 2{ x }, лежит в основе доказательства гипотезы о том, что случайная переменная подчиняется нормальному закону распределения.

Для проверки гипотезы о согласованности эмпирического выборочного распределения с гипотетическим нормальным распределением применяется статистика, которая приближённо распределена по c 2-закону Пирсона

с числом степеней свободы f = Kl – 1, где K – число интервалов ряда распределения, определённое по (9), l – число параметров гипотетического распределения, которые надо определить по данным выборки (для нормального распределения l = 2). Здесь Nk – число элементов выборки, попавшее в k -ый интервал, а pk – вероятность попадания случайной величины x в k -ый интервал при условии, что x распределена нормально.

Для проверки нуль-гипотезы о соответствии выборочного распределения нормальному закону Гаусса вычисляют эмпирическое значение статистики по (15) и сравнивают его с критическим c 2КР{ q; f }, которое выбирают из таблиц c 2-распределения для числа степеней свободы f и выбранного уровня значимости q. Если выполняется условие

то гипотеза принимается, эмпирическое распределение считается нормальным.

Критерием Пирсона рекомендуется пользоваться при N > 50. При меньших объёмах выборки можно воспользоваться критерием согласия:

где , – соответственно асимметрия и эксцесс эмпирического распределения, а DA и DE – дисперсии данных величин. Величины , , DA и DE определяются по выражениям

При выполнении условий (17) гипотеза о соответствии выборочного распределения нормальному закону Гаусса принимается.


 

2. ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

Перед началом практических занятий по темам, затронутым в первой части методических указаний, каждому студенту (подгруппе студентов) выдаётся текстовый файл с разделителями, форма которого показана в таблице 1.

 

Таблица 1 - Форма файла исходных данных

 

  A B C D E
   
   
   
 
  j
 
  N

 

Файл представляет собой таблицу без заголовков. В первом столбце таблицы расположены номера опытов j = 1.. N. В остальных столбцах содержатся элементы выборочных статистических совокупностей четырёх случайных величин, подчиняющихся различным видам распределения. Все вычисления на практических занятиях производятся только для величины x 1. Определение расчётных параметров для остальных случайных величин производится путём копирования с заменой элементов (s = 2.. 4) в ячейки элементов .

Задание на практические занятия заключаются в следующем:

1. Выполнить точечную оценку параметров распределения случайной величины:

1) Определить среднее по выборке значение случайной величины при помощи функции СРЗНАЧ(.. ).

2) Определить значение выборочной дисперсии S 2{ x } при помощи функции ДИСП.В(.. ).

3) Построить график случайной величины xj, .

4) При помощи функции определить значения относительных частот ν 1, ν 2, ν 3 попадания случайной величины x в интервалы M { xS { x }, (M { x }±2 S { x }, M { x }±3 S { x } соответственно. Для этого рекомендуется воспользоваться функцией ЧАСТОТА(.. ; С), показывающей количество элементов в массиве .. , меньших указанной величины С.

5) Определить границы, симметричные относительно , доверительных интервалов наблюдения случайной величины x 1, распределенной нормально, для вероятностей P 1 = 0,68; P 2 =0, 95; P 3 = 0,99. При расчёте воспользоваться функцией НОРМОБР(P; , S { x }), возвращающей такое значение нормальной случайной величины X, описываемой параметрами и S { x }, что вероятность наблюдения x < X равна P.

6) выполнить сравнительный анализ величин, рассчитанных в п. 4) и 5).

2. Выполнить проверку гипотезы о соответствии распределения случайной величины x нормальному закону распределения по критериям согласия:

1) Рассчитать значение асимметрии распределения случайной величины x, воспользовавшись функцией СКОС(.. ).

2) Рассчитать значение эксцесса распределения случайной величины x, воспользовавшись функцией ЭКСЦЕСС(.. ).

3) Вычислить значения дисперсий рассеяния величин и по выражениям (20,21).

4) Сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы о соответствии распределения случайной величины x нормальному закону.

3. Построить гистограмму случайной величины x 1:

1) Определить x min и x max (функции МИН(.. ) и МАКС(.. )).

2) Определить количество К интервалов гистограммы по выражению (9). Для этого могут понадобиться функции ОКРУГВВЕРХ() и LOG10() приложения Microsoft Excel.

3) Определить границы интервалов гистограммы.

4) Подсчитать частоты Nk попадания случайной величины x в рассчитанные интервалы, воспользовавшись функцией ЧАСТОТА в матричном виде.

5) Построить график гистограммы по результатам работы функции ЧАСТОТА.

4. Выполнить проверку гипотезы о соответствии распределения случайной величины x нормальному закону распределения по c2-критерию:

1) Определить вероятности pk попадания случайной величины x 1 в k -ые интервалы гистограммы, воспользовавшись выражением (7) и функцией НОРМРАСП.

2) Рассчитать фактическое значение c2-критерия по выражению (15).

3) Определить критическое значение c2КР для вероятности p = 0,9. Для этоговоспользоваться функцией ХИ2ОБР[P2]).

4) сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы о соответствии распределения случайной величины x нормальному закону.

5. Выполнить интервальное оценивание параметров генеральной совокупности случайной величины x при известных выборочных параметрах. Для определения квантилей распределения Стьюдента и Фишера воспользоваться функциями СТЬЮДРАСПОБР() и FРАСПОБР().

6. Выполнить пп. 1-5 для других случайных величин, имеющихся в файле исходных данных. Сделать выводы по результатам анализа.

 

ЛИТЕРАТУРНЫЕ ИСТОЧНИКИ

1. Лукьянов С.И. Основы инженерного эксперимента [Текст]: учеб.пособ. / МГТУ. - Магнитогорск, 2006. - 94с.: ил.

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа [Электронный ресурс]: Учебник. Часть 1. 9-е изд.,стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2008. — 448 с.: ил. (Учебники для вузов. Специальная литература). Режим доступа: https://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=410. ISBN 978-5-9511-0010-8 (Общий) ISBN 978-5-8114-0190-1 (Ч. 1).

3. Мойсюк Б.Н. / Основы теории планирования эксперимента: Учебное пособие // М.: Издательство МЭИ, 2005. – 464 с.

[P1]В бумажной версии здесь опечатка

[P2]В бумажной версии здесь опечатка



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: