Тема № 3. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Тема № 1. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

- алгебраическая форма записи комплексного числа,

где а –действительная часть комплексного числа, b – мнимая часть комплексного числа, i – мнимая единица, .

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

, - данные комплексные числа

1.Сложение: Чтобы найти сумму двух комплексных чисел, надо по отдельности сложить действительные и мнимые части, т.е.

Пример 1: , ,

2. Вычитание: Чтобы найти разность двух комплексных чисел, надо по отдельности вычесть действительные и мнимые части, т.е.

Пример 2: , ,

3.Умножение: Произведение комплексных чисел находится по распределительному закону умножения и определению мнимой единицы, т.е.раскрыть скобки, привести подобные, учитывая, что

Пример 3: , ,

4. Деление: Числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряжённое знаменателю

Для комплексного числа , сопряженным является число

Пример 4: ,

Тема № 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка М(а;b) или как вектор ОМ. Ось Х является действительной осью, Ось Y является мнимой осью. Пример 1:

Комплексное число	Положение на плоскости	Координаты точки
	Начало координат	(0; 0)
	Ось Х	(-3; 0)
	Ось Х	(2; 0)
	Ось Y	(0; 1)
	Ось Y
	I четверть	(2; 3)
	II четверть	(- 4; 1)
	III четверть	(-3; -3)
	IV четверть

Модулем (r) комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу

Пример 2: , ,

Аргументом () комплексного числа называется величина угла в радианах между положительным направлением действительной оси и вектором комплексного числа. Аргумент обозначается как ϕ = arg(z) и принадлежит полуинтервалу

[0, 2 ).

, если поворот против часовой стрелки, , если поворот по часовой стрелки. Аргумент комплексного числа можно найти через вспомогательный угол , .

, рад	0
, град	0⁰	30⁰	45⁰	60⁰	90⁰	180⁰	270⁰	360⁰
							-1
						-1
					-		-
	-					-		-

Координаты точки	Четверть	Аргумент комп. числа
(+; +)	первая
(-; +)	вторая
(-; -)	третья
(+; -)	четвёртая

Пример 3: Найдём аргумент комплексного числа .

-координаты точки на плоскости данного числа, IV четверти.

, так как число находится в IV четверти, то

. Ответ:

- тригонометрическая форма записи комплексного числа,

где r – модуль комплексного числа, - аргумент комплексного числа

Пример 4: Найти тригонометрическую форму записи комплексного числа

1) Найдём модуль: .

2) Найдём аргумент: (-1;1) – координаты точки данного числа, II четверти. . Так как число находится во II четверти, то

3) - тригонометрическая форма комплексного числа

Тема № 3. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1. Умножение. При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются

Пример1. Дано: , . Найти

Решение: , , , Ответ:

2. Деление. При делении двух комплексных чисел модуль первого из них делится на модуль второго, а из аргумента первого вычитается аргумент второго.