Разностные схемы. Явные и неявные.
Что бы можно было записать разностную схему, нужно ввести «Сетку».
Записывается сетка вот так:
Это пример сетки записанной по координате.
Х-это коордниата.
i-это номер шага ну или номер точки.(изменяется от нуля до какой то константы N)
h-это шаг, то есть расстояние между двумя точками(узлами)
и равен он=(длина стержня)/(на число точек).
ω-сама сетка
Это все записано в этих фигурных скобках.
В нашей задаче используется две сетки, одна по координате и одна по времени:
- ПО КООРДИНАТЕ
-ПО ВРЕМЕНИ
В сетке по времени величины задаются по аналогии с сеткой по координате.
Ввели мы сетку:
Она выглядит примерно так.
Когда мы ввели сетку, теперь для любой точки(узла) в этой сетке мы можем записать разностную схему.
Существует правая разность
То есть мы используем данный узел(с индексом i) и узел который справа(правее, значит индекс больше на 1 то есть i+1). Кстати, U-это просто функция, неважно какая. И мы от нее берем производную по X/
Существует левая разность:
Ну смысл такой же как и в правой разности, только берем узел слева(i-1) от данного(i).
Существует центральная разность.
Это среднее арифметическое от правой и левой разности.
Если производная вторая то разностная схема записывается вот так:
По поводу разностей особо объяснять нечего, это просто нужно запомнить.
Поймите что i-это любое число обозначающее номер узла.
Перейдем к явным и неявным разностным схемам.
Явная разностная схема:
Тут я использовал задачу со стержнем, «T»-это температура. У «T» два подстрочных индекса, а не один как у «U» потому что мы используем две сетки, одна по координате(i), а вторая по времени(j).
Выше находится схема узлов которые мы используем.
В точках которые составляют горизонтальную прямую(слой j-1), мы знаем температуру, и с помощью этих значений находим температуру в точке на следующем временном слое(слой j).
Если использовать явную разностную схему то все легко считается. Нам не нужно решать системы линейных алгебраических уравнений. Но эта разностная схема условно устойчивая. То есть можно использовать не все сочетания шагов.
Неявная разностная схема.
Достоинство неявной разностной схемы является устойчивость (произвольный выбор шагов), недостаток - сложность вычислений, на каждом шаге по времени приходится решать систему линейных алгебраических уравнений.
В этой схеме Температура которая находится в точке (i,j-1) нам известна, и мы находим 3 других температуры на следующем временном слое.
Что бы их найти нам нужно будет решить систему линейных алгебраических уравнений.
Для этого используются: Метод прогонки и метод Гаусса-Зейделя.
Метод Гаусса- Зейделя хорошо объясняется тут:
https://radioforall.ru/2010-01-10-08-21-08/148-2010-01-10-15-54-29
Метод прогонки:
https://radioforall.ru/2010-01-10-08-21-08/145-2010-01-10-15-50-03
Лучше чем на этом сайте я не объясню.
Еще нужно различать сеточную функцию и обычную.
На примере граничных условий первого рода:
-Вот обычная функция которая в нулевой точке равна 0 градусов.
- Вот эта же функция,записанная после введения сетки, то есть сеточка функция.
:
Получается температура в узле с координатами (0;j) равна нулю
Ну вообщем то это все.
Объяснять что именно делалось в паскале я не буду.
Но вместе с этой инфой скидываю файлы программ. В них в комментариях которые обозначаются двойной косой чертой поясняется что делается на том или ином шаге. Открывать эти файлы можно программой PascalABCили простым блокнотом. Делал пояснения одному пареньку, думаю разберетесь в них.
Ну тут вроде все.
Еще дам вам совет, лучше все нормально выучить и сразу сдать, если выучили херого, лучше не пробывать. Она не любит когда по 10 раз приходят и тупят.