Кафедра ФН-1
по дисциплине ИНТЕГРАЛЫИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2-й СЕМЕСТР, для РК, МТ.
2016-2017 учебный год
1. Первообразная. Доказать теоремы о первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов, ее вывод.
2. Интегрирование подстановкой и по частям. Примеры. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.
3. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших. Примеры. Интегрирование простейших дробей 1-го, 2-го и 3-го типов. Интегрирование простейшей дроби 4-го типа 
(при 
) с помощью формулы понижения (рекуррентной формулы). Интегрирование неправильных рациональных дробей.
4. Определенный интеграл, его механический и геометрический смысл, теорема существования. Свойство аддитивности (простое и обобщенное). Доказать линейность определенного интеграла и вывести значение определенного интеграла от константы.
5. Определение среднего значения функции на отрезке. Доказать теоремы об оценке и о среднем для определенного интеграла.
6. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Доказать теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом. Вывести формулу Ньютона-Лейбница.
7. Вычисление определенного интеграла подстановкой и по частям (вывод). Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат (вывод), Доказать два свойства определенного интеграла от периодической функции. Примеры.
8. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, определение сходимости, расходимости, их значения (в случае сходимости). Примеры. Свойства несобственных интегралов (не путать с признаками сходимости). Признаки сходимости (мажорантный и предельный признаки сравнения). Примеры. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Доказать теорему о связи абсолютной и обычной сходимости. Примеры.
9. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах (вывод).
10. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения, два случая (все три с выводом).
11. Вычисление длины дуги кривой и площадей поверхности вращения при различных способах задания кривой и различных осях вращения (вывод).
12. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ), ДУ 1-го порядка. Частные и общее решения ДУ, интегральные кривые. Задача Коши и теорема о существовании и единственности ее решения.
13. Геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка. Поле направлений. Геометрическое решение ДУ 1-го порядка с помощью изоклин. Примеры.
14. Простейшие типы ДУ 1-го порядка (с разделяющимися переменными, с однородной правой частью, линейные, типа Бернулли) и методы их решения. Примеры.
15. Дифференциальные уравнения n -го порядка. Частные и общее решения. Задача Коши, ее геометрическая интерпретация при 
. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для ДУ п -го порядка. Краевая задача.
16. Понижение некоторых типов ДУ высших порядков.
17. Линейные ДУ (ЛДУ) n -го порядка: однородные (ОЛДУ) и неоднородные. Теорема о существовании и единственности решения для ЛДУ. Дифференциальный оператор. Доказать основное свойство дифференциального оператора (его линейность) и линейность пространства решений ОЛДУ.
18. Определение линейной зависимости функций на промежутке. Определитель Вронского (вронскиан). Доказать теоремы (а) о вронскиане системы линейно зависимых функций;
(б) о вронскиане системы линейно независимых частных решений ОЛДУ.
19. Доказать теорему о размерности пространства решений ОЛДУ n -го порядка. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.
20. Формула Остроградского-Лиувилля для ОЛДУ n -го порядка (вывод для ) и ее следствия: (а) свойства вронскиана частных решений, равного нулю хотя бы в одной точке; (б) явная формула для второго частного решения ОЛДУ 2-го порядка, независимого от его известного первого частного решения.
21. Доказать теорему о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n -го порядка и теорему о наложении частных решений.
22 ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и построение общего решения по его корням (вывод для ).
23. Нахождение частных решений неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Подробно объяснить: (1°) как составлять вид этого частного решения с неопределенными коэффициентами; (2°) как находить неопределенные коэффициенты. Примеры.
24. Метод вариации постоянных решения неоднородных ЛДУ n -го порядка (вывод для ).