ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.




По уравнению непрерывной линии у = f(x) найдем угловой коэффициент касательной к ней в данной точке М(х; f(x)), предполагая, что касательная существует.

Функция y = f(x) в прямоугольной системе координат изображается кривой (рис.2). Возьмем на кривой точку М(х; f(x)) и дадим аргументу х приращение . По значению аргумента х+Dх получаем новое значение функции f(x + Dx), соответствующее точке М¢(х +Dх; f(х + Dх)) на кривой. Проведем секущую ММ¢ и обозначим угол наклона секущей к оси Ох через a. Из рисунка следует, что Df/Dx=tga. При Dх ® 0 точка М¢ перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке М. Секущая ММ¢ поворачивается вокруг точки М, и величина угла a изменяется. При приближении секущей ММ¢ к касательной МТ угол a приближается к углу j и

 

 

Угловой коэффициент касательной

Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом и состоит геометрический смысл производной.

 

Рис. 2

 

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И

ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.

Общее правило дифференцирования. При дифференцировании функции (нахождение ее производной) придерживаются следующие схемы:

1) выбрав некоторое значение х, дают ему приращение и находят значение функции в точке х + Dх, равное f(x + Dx);

2) определяют приращение функции: Df = f(x + Dx);

3) составляют отношение Df / Dx и, если возможно, упрощают его;

4) находят производную функции, то есть предел (Df / Dx), если этот предел существует:

Производная алгебраической суммы дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

.

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений второй функции на производную первой и первой функции на производную второй:

 

Производная частного (дроби) двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату знаменателя дифференцируемой функции, а числитель есть разность между произведениями знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя:

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

 

Функция у = F(x), которая числу х ставит в соответствие число f(g(x)), называется функцией от функции или сложной функцией, образованной из функций f и g в указанном порядке: у = f(g(x)), где у = f(u), u = g(x).

Например,если y = u3, u = cos x, то y = (cos x)3 = cos3 x.

Любую сложную функцию можно представить в виде элементарных функций, которые являются ее промежуточными аргументами.

Пример 1. Функция у = (х2 + 3х)2 есть сложная функция от х, так как она состоит из элементарных функций u = х2 + 3х и у = и2.

Пример 2. Функция у = sin lg(5 + 1/x3) есть сложная функция от х, так как она состоит из элементарных функций t = x3, z = 1/t, u = 5 + z, u = lg u, y = sin u.

 

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ.

1. (С)¢х = 0.

2. (х)¢х = 1.

3. nx = nun-1x; (xnx = nxn-1.

4. (u + u - w)¢x = u¢x + u¢x - w¢x.

5. (uu)¢x = uu¢x + uu¢x.

6. (Cu)¢x = Cu¢x;

7.

8. (aux = aux lna.

9. (eux = eux; (exx = ex.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-03-31 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: