По уравнению непрерывной линии у = f(x) найдем угловой коэффициент касательной к ней в данной точке М(х; f(x)), предполагая, что касательная существует.
Функция y = f(x) в прямоугольной системе координат изображается кривой (рис.2). Возьмем на кривой точку М(х; f(x)) и дадим аргументу х приращение Dх. По значению аргумента х+Dх получаем новое значение функции f(x + Dx), соответствующее точке М¢(х +Dх; f(х + Dх)) на кривой. Проведем секущую ММ¢ и обозначим угол наклона секущей к оси Ох через a. Из рисунка следует, что Df/Dx=tga. При Dх ® 0 точка М¢ перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке М. Секущая ММ¢ поворачивается вокруг точки М, и величина угла a изменяется. При приближении секущей ММ¢ к касательной МТ угол a приближается к углу j и
Угловой коэффициент касательной
Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Рис. 2
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.
Общее правило дифференцирования. При дифференцировании функции (нахождение ее производной) придерживаются следующие схемы:
1) выбрав некоторое значение х, дают ему приращение Dх и находят значение функции в точке х + Dх, равное f(x + Dx);
2) определяют приращение функции: Df = f(x + Dx);
3) составляют отношение Df / Dx и, если возможно, упрощают его;
4) находят производную функции, то есть предел (Df / Dx), если этот предел существует:
Производная алгебраической суммы дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
.
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений второй функции на производную первой и первой функции на производную второй:
Производная частного (дроби) двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату знаменателя дифференцируемой функции, а числитель есть разность между произведениями знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя:
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.
Функция у = F(x), которая числу х ставит в соответствие число f(g(x)), называется функцией от функции или сложной функцией, образованной из функций f и g в указанном порядке: у = f(g(x)), где у = f(u), u = g(x).
Например,если y = u3, u = cos x, то y = (cos x)3 = cos3 x.
Любую сложную функцию можно представить в виде элементарных функций, которые являются ее промежуточными аргументами.
Пример 1. Функция у = (х2 + 3х)2 есть сложная функция от х, так как она состоит из элементарных функций u = х2 + 3х и у = и2.
Пример 2. Функция у = sin lg(5 + 1/x3) есть сложная функция от х, так как она состоит из элементарных функций t = x3, z = 1/t, u = 5 + z, u = lg u, y = sin u.
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ.
1. (С)¢х = 0.
2. (х)¢х = 1.
3. (иn)¢x = nun-1u¢x; (xn)¢x = nxn-1.
4. (u + u - w)¢x = u¢x + u¢x - w¢x.
5. (uu)¢x = uu¢x + uu¢x.
6. (Cu)¢x = Cu¢x;
7.
8. (au)¢x = auu¢x lna.
9. (eu)¢x = euu¢x; (ex)¢x = ex.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.