Производная функции одной переменной.

НОВОУРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра высшей математики

Пределы.

Непрерывность.

Производная функции

Одной переменной

Учебно-методическое пособие по курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

для студентов всех специальностей всех форм обучения

Новоуральск 2004

УДК 519 О − 66

ББК 22.171

УДК 519 О − 66

ББК 22.171

МиМ − 2.3. − __________ −04

Пределы. Непрерывность.

Производная функции одной переменной

Учебно-методическое пособие по курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

для студентов всех специальностей всех форм обучения

Новоуральск, изд. НГТИ. − 60 с.

Пособие составлено ст. преподавателем кафедры высшей математики НГТИ Орловым Юрием Владимировичем.

Пособие содержит 30 вариантов контрольного задания по теме «Пределы. Непрерывность. Производная функции одной переменной» для домашних контрольных работ по данным темам. В пособии приведен пример решения одного из вариантов и справочник с необходимыми формулами и правилами.

Пособие обсуждено на заседании кафедры высшей математики НГТИ и рекомендовано к использованию в учебном процессе студентами всех специальностей заочной формы обучения.

“____”______________200 ___ г.

Зав. кафедрой к.ф.м.н. ___________________ А.П. Золотарёв

Согласовано:

Председатель методической комиссии:

Профессор, д.т.н. ___________________________ А.Е. Беляев

Содержание


	Контрольное задание по теме «Предел. Непрерывность. Производная функции одной переменной» (30 вариантов) ………………………………….
	Пример решения варианта №31 контрольного задания ……….
	Справочник ………………………………………….....................
	Рекомендуемая литература ………………………………………

Пособие предназначено для проведения типовой работы (домашней контрольной работы) в группах первого курса заочной формы обучения, изучающих математический анализ. Пособие содержит задания по темам «Предел и непрерывность функции» и «Дифференциальное исчисление функции одной переменной». Каждый студент находит свой порядковый номер N в списке группы, по нему выбирает вариант контрольного задания. Если номер N превосходит 30, то студент выполняет вариант задания под номером N – 30.

Контрольная работа может быть разбита на две части. При решении контрольной работы по теме «Предел и непрерывность» каждый студент выполняет в своём варианте задания под номерами 1 и 2. При решении контрольной работы по теме «Производная функции одной переменной» каждый студент выполняет в своём варианте задания под номером 3.

Контрольные выполняются в соответствии со стандартом оформления текстовых документов. На титульном листе должно присутствовать название института (НГТИ), кафедры (высшей математики), номер контрольной по курсу «Математический анализ» с указанием варианта, фамилии и инициалов выполнившего с указанием группы, фамилии проверяющего и города Новоуральск с указанием года выполнения.

После подробной записи каждого из заданий должно приводиться его аккуратное решение с объяснением логических переходов и применяемых формул. После решения отдельно записывается ответ на все поставленные вопросы.

При решении контрольного задания рекомендуется воспользоваться конспектами лекций и литературой из приведённого в конце пособия списка. Автор рекомендует студенту при решении своего варианта внимательно разобраться с примером решения варианта, приведённом в данном пособии.

Контрольное задание

Вариант №1

№1 Вычислить пределы

1) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= ;

2) ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №2

№1 Вычислить пределы

1) при а ₁=0, а ₂=2, а ₃= -1, а ₄= ;

2) ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №3

№1 Вычислить пределы

1) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= ;

2) ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №4

№1 Вычислить пределы

1) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= ;

2) ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №5

№1 Вычислить пределы

1) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= ;

2) ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №6

№1 Вычислить пределы

1) при а ₁=0, а ₂=2, а ₃= -1, а ₄= ;

2) ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №7

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3) при а ₁=0, а ₂=2, а ₃= -1, а ₄= .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №8

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №9

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №10

№1 Вычислить пределы

1) при а ₁=0, а ₂=2, а ₃= -1, а ₄= ;

2) ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №11

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №12

№1 Вычислить пределы

1) при а ₁=0, а ₂=2, а ₃= -1, а ₄= ;

2) ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №13

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №14

№1 Вычислить пределы

1) при а ₁=0, а ₂=2, а ₃= -1, а ₄= ;

2) ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №15

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3) при а ₁=0, а ₂=2, а ₃= -1, а ₄= + .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №16

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) при а ₁= -2, а ₂=2, а ₃= -1, а ₄= ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №17

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №18

№1 Вычислить пределы

1) при а ₁=0, а ₂=2, а ₃= -1, а ₄= ;

2) ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов.

№3

Вариант №19

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= ;

2) ;

3).

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №20

№1 Вычислить пределы

1) ;;

2) ;

3) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №21

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3) при а ₁=0, а ₂=3, а ₃= -1, а ₄= .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №22

№1 Вычислить пределы

1) при а ₁=0, а ₂=2, а ₃= -1, а ₄= ;

2) ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №23

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3) при а ₁=0, а ₂=-2, а ₃= -1, а ₄= .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №24

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №25

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №26

№1 Вычислить пределы

2) при а ₁=0, а ₂=2, а ₃= -1, а ₄= ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №27

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) при а ₁=0, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №28

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3) при а ₁=0, а ₂=2, а ₃= -1, а ₄= .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №29

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) при а ₁=6, а ₂=1, а ₃= -1, а ₄= ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №30

№1 Вычислить пределы

1) при а ₁=0, а ₂=2, а ₃= -1, а ₄= ;

2) ;

3) .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

Вариант №31 (пример)

№1 Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3) при а ₁=1, а ₂=0, а ₃= 3, а ₄= - .

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

№3

1. Найти производную функции

;

2. Найти , составить уравнения касательной и нормали

при для ;

3. Найти производную функции

а) ; б) ;

4. Вычислить приближенно

;

5. Провести полное исследование функции и построить график

а) ; б) .

2 Пример решения варианта

Контрольного задания

№1 Вычислить пределы

1.1) .

Решение:

=0;

1.2) .

Решение:

=0;

1.3) при а ₁=1, а ₂=0, а ₃= 3, а ₄= - .

Решение: 1.3.1 ;

1.3.2 ;

Можно вычислить предел частного двух многочленов из условия, что наибольшая степень дроби находится в знаменателе. Такой предел на бесконечности равен нулю.

Ответ: 1) 0,5; 2) ; 3) ; 4) 0.

№2 Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Решение:

2.1) Значения функции f(x) можно вычислить при , , . Функция f(x) на каждом участке области определения задана (нет точек, в которых невозможно вычислить f(x)), объединение всех участков даёт для функции f(x) область определения т.к. ;

2.2) Построим график функции, построив графики

· при ,

· y₃=1+2cos(2x) при .

График – прямая, с угловым коэффициентом k =1 и сдвигом вниз относительно начала координат на b =3.

Прямую можно построить и по двум точкам:

а) взять х ₁ и вычислить у(х ₁), например

при х = -5 у (-5)= -5 -3= -8;

б) взять х ₂ и вычислить у(х ₂), например

при х = -1 у (-1)= -1 -3= -4;

в) построить прямую по найденным точкам (-5; -8) и (-1; -4).

График функции изобразим на промежутке , на котором задана функция у ₁.

График функции показан на рисунке 1.

График – гипербола, получаемая из растяжением в 2 раза вдоль оси ОY вместе с переворотом относительно ОХ, сдвигом влево на 1 и вверх на 5 единиц.

Функция задана на интервале .

График показан на рисунке 2.

График получается из графика сжатием в 2 раза вдоль оси ОХ, растяжением в 2 раза вдоль оси ОY и сдвигом вверх на 1 единицу. График показан на рисунке 3.

Функция задана на отрезке .

2.3) Исследуем функцию f(x) на непрерывность.

Функция задана на отрезке . Функция является элементарной, из чего следует непрерывность такой функции в точках соответствующего интервала (-5; -1).

Функция задана на интервале , в его точках функция является элементарной, из чего следует непрерывность такой функции.

Функция y₃= 1 + 2· cos( 2 x) задана на отрезке . Функция является элементарной, из чего следует непрерывность такой функции. в точках соответствующего интервала .

Вывод: Разрывы функции f(x) возможны только на границах участков области определения.

Рассмотрим каждую из границ области определения х ₁= -5, х ₂= -1, х ₃=0, х ₄= .

2.3.1) х = -5, .

Функция f(х) задана только при x -5,

предел справа существует, конечен и равен f (-5) т.е f(x) в точке х =-5 непрерывна справа;

2.3.2) х = -1, .

Предел слева ,

предел справа .

Среди частичных пределов в точке х = -1 имеется бесконечный, х = -1 является точкой разрыва второго рода;

2.3.3) х =0, .

Предел слева ,

предел справа .

В точке х =0 частичные пределы совпадают и равны значению функции в такой точке, следовательно х =0 – точка непрерывности функции f(x);

2.3.4) х = , .

Функция f(х) задана только при x ,

предел слева существует, конечен и равен f () т.е f(x) в точке х = непрерывна слева.

С учётом выполненных пунктов построим график функции f(x).

График изображён на рисунке 4.

№3

3.1) Найти производную функции .

Решение:

Ответ: .

3.2) Найти , составить уравнения касательной и нормали

при для ;

Решение:

Уравнение нормали ,

Уравнение касательной ,

Ответ: При t =0 , касательная ,

нормаль ;

3.3) Найти производную функции

а) ; б) .

Решение:

а) .

Используем логарифмическое дифференцирование:

;

б) .

Уравнение неявно задает функцию у=у(х), из него может быть найдена производная . Продифференцируем обе части уравнения по переменной х, учитывая производную сложной функции . При этом получим уравнение .